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produit scalaire
Bonjour
J'ai un exercice à faire, mais je rencontre quelques difficultés dessus.
L'exercice est :
ABC est un triangle quelqonque avec son centre de gravité G et son cercle circonscrit de centre O.
Faire une figure (réussi)
A l'aide de la relation HO+OA=HA et (OB+OC).BC=0 demontrer que :
(HO + OA + OB+ OC).BC = 0
(HO + OA + OB + OC).AB = 0
OH = OA + OB +OC
merci de votre aide
bonjour,
(HO + OA + OB + OC).BC
= (HA + OB + OC) . BC
= (HA . BC) + ((OB + OC). BC) (1)
Or (HA) ortho à (BC) car (HA) hauteur, donc :
(1) = 0 + 0 = 0
...
je suppose que H est l'horthocentre de ABC ( intersection des 3 hauteurs de ABC)
dans ce cas M:
(HO + OA + OB+ OC).BC = (HO + OA).BC + (OB+ OC).BC = HA.BC =0 car (HA) est la hauteur issue de A sur (BC)
(HO + OA + OB + OC).AB = (HO + OC).AB + (OB + OA).AB = HC.AB +(OB + OA).AB=0
car (HC) hauteur et (OB + OA).AB=0
Soit U = HO + OA + OB+ OC
U.BC = 0 et U.AB = 0
=> (U = 0 ou BC = 0 ou U ortho à BC) et (U = 0 ou AB = 0 ou U ortho à AB) (1)
or B 
C => BC 0
or A B => AB 0
or A, B et C non alignés => U ne peut être ortho à la fois à BC et à AB
donc (1) => (U = 0 ou U ortho à BC) et (U = 0 ou U ortho à AB)
=> (U = 0) ou (U = 0 et U ortho à BC) ou (U = 0 et U ortho à AB)
=> U = 0
=> HO + OA + OB + OC = 0
=> OH = OA + OB + OC
...
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