Bonjour,

Ce serait bien de savoir dans quel espace vectoriel on travaille déjà.
Les fonctions continues ? Les polynomes ? Quoi donc ?

Pour la positivité : L'intégrale d'une fonction n'est pas toujours positive !
On dit plutôt que l'intégrale est une fonction croissante dans le sens ou si f<g alors f<g.
Et alors on a bien : f'²0.
Comme la somme de deux termes positifs est positive, ton "produit scalaire" est positif.


Pour la bilinéarité :
Appelons temporairement l'application en question par b : b(f,g)=(f|g)  [ c'est plus simple à écrire ].
Comme tu as montré que b est symétrique, pour que b soit bilinéaire, il suffit que b soit linéaire par rapport à une variable seulement. C'est à dire que pour tout f,g,h dans ton espace vectoriel, pour tout :
b(f+g,h)=b(f,h)+b(g,h).
ok ?

Tout d'abord, merci d'avoir répondu aussi vite!

Quant à l'espace vectoriel, on travaille sur E, l'espace vectoriel des fonctions de classe C1 (dérivables et à dérivée continue) sur [0, 1].
Pour la positivité, au temps pour moi.

Pour la bilinéarité, l'ajout de h est-il obligatoire? Sinon, je suis tout à fait d'accord pour la formule.

Tu voudrais mettre quoi à la place de h ?

Ce n'est pas le nom qui me gène, mais je n'ai pas compris pourquoi tu rajoutes h? On ne peut pas démontrer la bilinéarité uniquement à l'aide de f et g?

Non.
Ca veut dire quoi qu'une application est linéaire ?
Ca veut dire quoi qu'une application est linéaire par rapport à une seule variable ?

Une application est linéaire si on a: u(x+y) = u(x)+u(y)
Comme on veut montrer que l'on a une forme bilinéaire, on doit démontrer la linéarité par rapport à 2 variables.

J'ai réussi à démontrer qu'on a une forme symétrique définie positive, mais pour la bilinéarité, j'ai du mal à voir comment résoudre le problème.

Ca veut dire quoi pour toi etre linéaire par rapport à 2 variables ?

Pardon, je reprends. Je voulais dire qu'on doit montrer la linéarité à gauche et à droite.

b(f+g,h)=b(f,h)+b(g,h)

<=> b(f+g,h)=b(f,h)+b(g,h)

C'est bien ça, je me trompe?

Pas vraiment non.
Si E,F,G sont des K e.v.
Une application b de ExF dans G est dite bilinéaire si :
¤ b(x+y,z)=b(x,z)+b(y,z) pour tout x,y dans E, pour tout z dans F.
¤ b(x,y+z)=b(x,y)+b(x,z)

En gros si pour tout x dans E, l'application est linéaire et si pour tout y dans F, l'application est linéaire.

Ici comme E=F et que b est symétrique, tu remarques que montrer que b est bilinéaire revient à montrer que b est linéaire seulement par rapport à une variable. ( car b(x+y,z)=b(z,x+y) ).

(f+g|h) = (h| f+g)

Mais je n'arrive vraiment pas à comprendre que vaut h.
On a:
b(f+g,h)=b(f,h)+b(g,h)
Mais je ne vois pas de quoi partir pour à partir d'une des égalités et arriver à la seconde. J'ai beau retourner le problème, je retombe toujours au même point.

Bon alors allons y .
Soient donc 3 fonctions f,g,h de classe C1 et k un réel.
kf+g est encore une fonction de classe C1 puisqu'on est dans un e.v. et on a
(kf+g|h)=(kf+g)(0)*h(0)+(kf+g)'(t)*h'(t)dt

Montre que c'est aussi égale à k(f|h)+(g|h).

Désolé de ne pas avoir répondu plus tôt.

Donc voici ce que j'ai fais:

Soient 3 fonctions f,g,h de classe C1 et k un réel.
kf+g est encore une fonction de classe C1 puisqu'on est dans un espace vectoriel.

Pour que sa soit bilinéaire il faut prouver que (kf+g|h)=k(f|h)+(g|h)

(kf+g|h) = (k f+g)(0)*h(0) + (kf + g)'(t)*h'(t)dt
             = ( (kf(0) + g(0) )*h(0) + ( (kf)'(t) + g'(t)) * h'(t)dt
             = k f(0) h(0) + g(0) h(0) + kf'(t) h'(t) + g'(t) h'(t)dt


k(f|h)+(g|h) = k f(0) h(0) + k f'(t) h'(t)dt  +  g(0) h(0) + g'(t) h'(t)dt
                   =  k f(0) h(0) +  g(0) h(0) + k f' (t)  h'(t)dt + g'(t)  h'(t)dt
                   = k f(0) h(0) +  g(0) h(0) + kf'(t) h'(t)+ g' (t)h'(t)dt


On a donc : (kf+g|h) = k(f|h)+(g|h)

C'est donc une forme bilinéaire.

C'est bien ca !
( note que pour montrer l'égalité, il suffisait de voir que la derniere égalité du premier calcul était présicement k(f|h)+(g|h) )

C'est donc une forme bilinéaire car elle est en plus symétrique ! Sinon il aurait fallut refaire tout le tsoin tsoin de linéarité mais avec la 2e variable ( c'est à dire que si b n'avait pas été symétrique, pour montrer qu'elle est bilinéaire, il aurait fallu en plus montrer que (f|kg+h)=k(f|g)+(f|h), on est d'accord ?)

Merci beaucoup de m'avoir aidé!

De rien
La bilinéarité n'est pas si méchante en fin de compte...