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produit scalaire

Posté par
sarah974 15-05-16 à 13:57

Bonjour à tous,

j'ai un autres exos assez complexes :

Partie 1

Soient vecteur u, vecteur v et vecteur w trois vecteurs en un point O tels que : (O;u,v) repère orthonormé et norme vecteur w = racine de 5
soient les deux vecteurs a = vecteur u  + 2 vecteurs v + vecteur w
                                                       b = vecteur u  + 2 vecteurs v  - vecteur w
1) démontrer que les deux vecteurs a et b sont orthogonaux
2) soit A(1; 2) et soit C le cercle de centre A et de rayon \sqrt[]{5}.
M est un point quelconque du cercle
N est le symétrique de M par rapport à A
Déduire de la première question que le triangle OMN est rectangle.

Partie 2

1) On suppose dans cette partie que vecteur w est colinéaire au vecteur  u -1/2 vecteur v.
Démontrer que vecteur u -1/2 vecteur v est orthogonal à vecteur u + 2 vecteurs v .
Démontrer que norme vecteur a = norme vecteur b

2) On considère à nouveau  A(1; 2) et soit C le cercle de centre A et de rayon \sqrt[]{5}.
M est un point quelconque du cercle
N est le symétrique de M par rapport à A
Déduire de la première question et de la première partie que le triangle OMN est rectangle isocèle.

remarque : O appartient au cercle C et (OA) est un axe de symétrie du cercle, donc M et N sont symétriques par rapport à (OA)

Pour la première partie, j'ai trouvé que vecteur a a pour coordonnées (1+racine de 5; 2+racine de 5) et vecteur b (1-racine de 5; 2-racine de 5) et j'applique la formule xx'+yy' et je trouve -5 donc ils ne sont pas orthogonaux. c'est juste ?

Posté par
sarah974re : produit scalaire 15-05-16 à 13:58

de rayon racine de 5 *

Posté par
vhamre : produit scalaire 15-05-16 à 14:21

Bonjour,

Pour1.1 vous pouvez écrire : a.b = 1.1+2.2+5.(-5) = 0 et conclure

Posté par
heklare : produit scalaire 15-05-16 à 14:25

Bonjour

quel est le problème ?

calculez \vec{a}\cdot\vec{b}

posez\vec{ U}= \vec{u}+2\vec{v}

\vec{a}\cdot\vec{b}=(\vec{U}+\vec{w})\cdot(\vec{U}-\vec{w})=||\vec{U}||^2-||w||^2

Posté par
sarah974re : produit scalaire 15-05-16 à 14:28

Est-ce qu'on a le droit de séparer comme ça les additions et les multiplications ? car ça ne donne pas le même résultat

Posté par
vhamre : produit scalaire 15-05-16 à 14:40

Re,

Pour le produit scalaire je n'ai fait qu'écrire xx'+yy'+ zz'

Posté par
heklare : produit scalaire 15-05-16 à 14:46

À qui s'adresse la question ?

(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)^2+(a+b)(-c)+(a+b)c-c^2=(a+b)^2-c^2=a^2+b^2+2ab-c^2

Posté par
sarah974re : produit scalaire 15-05-16 à 14:50

d'accord mais je ne comprends toujours pas ce que vous avez écrit :  a.b = 1.1+2.2+racine de 5.racine de (-5). D'où prenez vous le 1x1 le 2x2 ?

Posté par
vhamre : produit scalaire 15-05-16 à 14:55

Au temps pour moi, j'ai cru être en dimension 3 alors que l'exercice est dans un plan dimension 2

Posté par
sarah974re : produit scalaire 15-05-16 à 15:01

Donc  est ce que je prends les coordonnées du vecteur u (1;0) et vecteur v (0;1) ?

Posté par
heklare : produit scalaire 15-05-16 à 15:16

||\vec{U}||^2=1^2+2^2=5

||\vec{w}||^2=5

Posté par
vhamre : produit scalaire 15-05-16 à 15:26

Citation :
Donc  est ce que je prends les coordonnées du vecteur u (1;0) et vecteur v (0;1) ?


N'est-ce pas ce que veut signifier : " (O;u,v) repère orthonormé" dans l'énoncé ?

Posté par
sarah974re : produit scalaire 15-05-16 à 16:14

Pourrais-je avoir une piste pour la question 1.2 svp ?

Posté par
heklare : produit scalaire 15-05-16 à 16:25

\vec{OM}=\vec{OA}+\vec{AM}

\vec{ON}=\vec{OA}-\vec{AM}

produit scalaire

Posté par
sarah974re : produit scalaire 15-05-16 à 17:25

Je dois le faire avec le théorème de Pythagore ? Ou je peux lire les coordonnées sur la figure ?

Posté par
heklare : produit scalaire 15-05-16 à 17:41

non on vous impose une méthode : déduire

vous avez \vec{OA}=\vec{u}+2\vec{v}\quad \vec{w}=\vec{AM} et

|| \vec{AM}||=\sqrt{5}

Posté par
sarah974re : produit scalaire 16-05-16 à 11:04

est ce que ça donnerait quelque chose comme ça :
vecteur OM = vecteur OA + vecteur AM
                            = (vecteur u+ vecteur v) + vecteur w

Posté par
heklare : produit scalaire 16-05-16 à 11:06

bien sûr

Posté par
heklare : produit scalaire 16-05-16 à 11:07

erreur +2\vec{v}

Posté par
sarah974re : produit scalaire 16-05-16 à 11:15

d'accord donc je trouve pour vecteur OM = 3+racine de  5
vecteur OA = 3 - racine de 5.
Mais pour vecteur NM je dirais : vecteur NM = vecteur NA + vecteur AM mais je ne connais pas vecteur NA

Posté par
heklare : produit scalaire 16-05-16 à 11:52

vous ne pouvez pas écrire qu'un vecteur est un nombre .
Pourquoi voulez-vous \vec{MN}

première question

soient les deux vecteurs\vec{ a} = \vec{ u}  + 2 \vec{v} + \vec{ w}

                                                     \vec{b} = \vec{u} + 2 \vec{ v}  - \vec{w}
1) démontrer que les deux vecteurs \vec{a} et \vec{b} sont orthogonaux

N'êtes-vous point dans ce cas ?  par conséquent appliquez le résultat
c'est bien le sens de « déduire »

Posté par
sarah974re : produit scalaire 16-05-16 à 12:07

Mais plus haut il y a la solution quand on demande de démontrer que les vecteurs sont orthogonaux. Je n'arrive pas bien à voir comment je pourrais déduire que le triangle est rectangle ..

Posté par
heklare : produit scalaire 16-05-16 à 12:14

vous êtes bien dans ce cas

\vec{OM}=\vec{a} \quad \vec{ON}=\vec{b} par conséquent d'après la première question \vec{OM}\cdot\vec{ON}=0

il en résulte que (OM) et (ON) sont perpendiculaires et le triangle OMN rectangle en O

Posté par
sarah974re : produit scalaire 16-05-16 à 12:24

Ah d'accord il ne fallait pas passé par des calculs. Merci  !
Pour la partie 2, est ce que je dois faire par calcul quand je dois démontrer ?

Posté par
heklare : produit scalaire 16-05-16 à 12:39

la première question par le calcul

Posté par
sarah974re : produit scalaire 16-05-16 à 12:50

Si je dis que vecteur u = 1 comme précédemment ainsi que le vecteur v je ne trouve pas le même résultat des deux côtés

Posté par
heklare : produit scalaire 16-05-16 à 13:12

(\vec{u}-\dfrac{1}{2}\vec{v})\cdot(\vec{u}+2\vec{v})=(\vec{u})^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}-\dfrac{1}{2}\vec{v}\cdot\vec{u}-(\vec{v})^2 =1+0-0-1=0

Posté par
sarah974re : produit scalaire 16-05-16 à 13:26

Ah ou j'oubli tout le temps qu'il faut multiplier les vecteur entre eux. pour exprimer w en fonction de vecteur u et de vecteur v  je peux que m'aider de la partie 2 ?

Posté par
heklare : produit scalaire 16-05-16 à 13:45

c'est la partie 2

on a dit que \vec{w} et \vec{u}-\dfrac{1}{2}\vec{v} sont colinéaires  
\vec{w} s'exprime bien en fonction de \vec{u} et\vec{v}

calculer \vec{a}\cdot\vec{a} puis \vec{b}\cdot\vec{b}

Posté par
sarah974re : produit scalaire 16-05-16 à 13:53

Donc quand je fais a.a et b.b je trouve qu'ils sont égaux à 2 c'est bon ?

Posté par
heklare : produit scalaire 16-05-16 à 14:09

pourquoi 2 ? je trouve 10

Posté par
sarah974re : produit scalaire 16-05-16 à 14:13

J'ai retenu que le u^2 et le w^2 comme 1 sinon les autres j'ai dit qu'ils étaient égaux à 0

Posté par
heklare : produit scalaire 16-05-16 à 14:18

\vec{a}\cdot\vec{a}=\left(\vec{u}+2\vec{v}+\vec{w}\right)^2=\left(\vec{u}+2\vec{v}\right)^2+2\left(\vec{u}+2\vec{v}\right)\cdot \vec{w}+(\vec{w})^2=5+0+5=10

Posté par
sarah974re : produit scalaire 16-05-16 à 14:27

mais comment savez vous que ( vecteur u + 2 vecteurs v )^2 est égal à 5 ?

Posté par
heklare : produit scalaire 16-05-16 à 14:45

en calculant le carré de  la norme

\left(\vec{u}+2\vec{v}\right)^2=(\vec{u})^2+4\vec{u}\cdot\vec{v}+4(\vec{v})^2=1+0+4 \\

Posté par
sarah974re : produit scalaire 16-05-16 à 14:53

Ah oui je n'avais pas calculer pareil .. et enfin pour la 2.2, faut il faire un calcul ou c'est c'est la même chose que pour la partie 1 ?  

Posté par
heklare : produit scalaire 16-05-16 à 15:01

même chose que pour la question 2 de la partie 1

\vec{OM}\cdot\vec{ON} le triangle est rectangle ( partie 1)

||\vec{OM}||=||\vec{a}||=||\vec{b}||=||\vec{ON}||  le triangle est isocèle  (partie 2 question 1)

Posté par
sarah974re : produit scalaire 16-05-16 à 15:04

Ok merci de votre aide pour cet exercice

Posté par
heklare : produit scalaire 16-05-16 à 15:10

de rien


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