Le triangle AOB est rectangle en O,I milieu de AB et H le projeté orthogonal de O sur AB.Le point H se projette orthogonalement en J sur (OA) et en K sur (OB).

Montrer que (OI) et (JK) sont orthogonales.

Apres avoir utiliser plusieurs fois le theoreme de Chasles et de Al-Kashi , je n'ai pas reussi a prouver l'orthogonalité de ces 2 droites! si vous avez une piste je vous en remercie d'avance!

Le triangle AOB est rectangle en O,Iest le milieu de AB et H est le projeté orthogonal de O sur AB.le point H se projette orthogonalement en J sur (OA) et en K sur (OB)

Montrer que (OI)et (JK) sont orthogonales

Apres plusieurs utilisation de Chasles et du Theoreme d'Al-Kashi je n'ai pas trouver des solution pour prouver l'orthogonalité si vous avez une piste je vous en remercie d'avance!

*** message déplacé ***

Bonsoir
OA+OB = OI + IA + OI + IB = 2OI
2.KJ.OI = 2(KO + OJ).(OA + OB) = 2.(KO.OA + OJ.OA + KO.OB + OJ.OB) =
2.(0 + |OJ|.|OA| - |OK|.|OB|  + 0) 0 car per. ; O,J,A alignés avec OJ et OA de même sens ; K,O,B alignés avec KO et OB de sens contraire.
En appliquant Thalès ou triangles semblables  on devrait avoir
|OJ|/|OK| = |OB|/|OA|  ce qui ferait 0 d'où perpendiculaire

A plus geo3

oui mais on veux prouver que (OI) et (JK) sont perpendiculaires mais dans le raisonnement je ne vois pas ou on le montre si quel qu'un peut m'éclairer!

Bonsoir
En reprenant ma démonstration  du 24 à 21.28h
2.KJ.OI = 2(KO + OJ).(OA + OB) = 2.(KO.OA + OJ.OA + KO.OB + OJ.OB) =
2.(0 + |OJ|.|OA| - |OK|.|OB|  + 0) 0 car per. ; O,J,A alignés avec OJ et OA de même sens ; K,O,B alignés avec KO et OB de sens contraire.
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dans la suite il s'agit de longueurs
si on démontre que OJ.OA= OK.OB  alors le produit scalaire = 0 d'où KJ et OI sont perpendiculaires
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en effet
angleOHJ=angleOKJ=pi/2 - angleHOJ; angleHOJ = pi/2 - A  => angleOKJ=A
dans le triangle rectangle OKJ   OJ=OK.tan(A) et dans OAB OB=OA.tan(A)  =>
OJ/OK = OB/OA => OJ.OA = OK.OB   => cqfd
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Je n'ai pas trouvé plus court .

A plus geo3