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Produit Scalaire
Bonjour, je n'arrive pas à faire un exercice sur le produit scalaire...
Merci à ceux qui pourront m'aider.
ABC est un triangle quelconque. M est un point du plan.
1) Montrer que MA.BC + MB.CA + MC.AB = 0 (tout ça en vecteurs)
(on peut par exemple décomposer le vecteur BC à l'aide du point A)
Là j'ai mis
MA.(BA+AC) + MB.CA + MB.AB
= MA.BA + MA.AC + MB.CA + MB.AB
Mais je sais pas trop comment rédiger pour expliquer que c'est égal à 0.
2) Prendre pour M le point d'intersection de deux hauteurs du triangle ABC. Déduire de la relation précédente que les trois hauteurs sont concourantes.
Là...
Salut, tu n'as plus qu'à remplacer = -
et
=-
et utiliser la bilinéarité du produit scalaire, c'est-à-dire " factoriser"
Bonjour,
MA.BC + MB.CA + MC.AB =MA(BA+AC)+(MA+AB).CA+(MA+AC).AB
=MA.BA+MA.AC+MA.CA+AB.CA+MA.AB+AC.AB
Ces éléments s'éliminent 2 par 2 donc =0
2) Prendre pour M le point d'intersection de deux hauteurs du triangle ABC. Déduire de la relation précédente que les trois hauteurs sont concourantes.
Soit M le point d'intersection des hauteurs issues de A et B du triangle ABC.
Dans ce cas : MA.BC=0 et MB.AC=0
Comme MA.BC + MB.CA + MC.AB=0 , on a donc :
MC.AB=0 ce qui prouve que (MC) ppd (AB) donc (MC) 3ème hauteur.
A+
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