Bonjour,
MA et MB sont des vecteurs.
Pour voir à quoi est égal  MA + MB , je te conseille de décomposer chacun de ces vecteurs selon Chasles.

Bonjour, merci pour votre réponse.
Ça veut dire que ce que j'ai fait pour MA+MB est faux ? Je pensais que ça c'était juste comme j'ai trouvé 2KM qui est le début de la réponse donnée dans la question ?

Dans ton premier message, tu as correctement décomposé les vecteurs MA et MB.
Déduis-en les expressions de MA + MB et MA - MB qui te permettront de répondre à la question 2.

Je reprend donc :
On connaît MA+MB=2KM

Cherchons maintenant la différence de MA et MB.
Grâce à la relation de Chasles, on a :
MA=MK+KA
MB=MK+KB
Donc MA-MB=(MK+KA-MK+KB)
MA-MB=KA+KB

On a maintenant MA^2-MB^2=(MA+MB).(MA-MB)=2KM.(KA+KB)
Mais ce qu'on veut c'est 2KM.AB donc comment je peux trouver AB en ayant KA+KB ?

Bonjour,

en attendant le retour de Priam

Ah mince, je vois pas comment je peux l'écrire autrement ?
Sauf si on écrit MA-MB=(MK+KA+KM+KB) mais ça revient au même...

de plus, je n'avais pas bien lu

  c'est faux aussi

Oh... Je pensais que c'était logique, je suis vraiment perdue alors...

C'est donc  MA-MB=(MK+KA+MK+KB) ?

post croisés

Ah oui c'est logique ça, on a développé MA=MK+KA et MB=MK+KB donc MA+MB=MK+KA+MK+KB=2MK+KA+KB

En fait je crois que j'ai mal distribué pour la différence :
MA-MB=(MK+KA)-(MK+KB)=MK+KA-MK-KB=KA-KB

Ce qui fait que
MA^2-MB^2=(MA+MB).(MA-MB)=(2MK+KA+KB).(KA-KB)
Comment on peut développé plus loin pour que ce soit égal à 2MK.AB

KA + KB = ?
KA - KB = ?

KA+KB=AB
KA-KB=0

Donc ça nous donne
MA^2-MB^2=(MA+MB).(MA-MB)=(2MK+KA+KB).(KA-KB)=(2MK+AB).0=2MK+AB

Mais du coup je suis encore bloquée... Comment je peux changer cette somme en produit scalaire ?

Non, c'est le contraire.
Regarde ce schéma :

A<--------K-------->B

Bonjour,

Nell21 tu sembles en fait ne pas faire la différence entre un vecteur et une longueur ...
vrai (longueurs)
faux
est un vecteur qui n'est pas égal à mais à (le vecteur nul)

voir le schéma de Priam qui montre que les vecteur sont de sens opposés



et ta première erreur confondant MK et KM (sensés être des vecteurs)

Merci beaucoup pour cette explication.
Je recommence donc depuis le début.

MA^2 = MA^2= MA.MA, de même pour MB^2.
MA^2-MB^2=(MA+MB).(MA-MB)
Grâce à la relation de Chasles on a
MA=MK+KA
MB=MK+KB
MA+MB=(MK+KA+MK+KB)=2MK
MA-MB=(MK+KA)-(MK+KB)=MK+KA-MK-KB=KA-KB=AB

On a alors :
MA^2-MB^2=(MA+MB).(MA-MB)=2MK.AB
C'est presque ça sauf que je ne comprend pas pourquoi j'ai MK et pas KM ?

parce que

En regardant sur le schéma de Priam je trouve KA-KB=0 mais c'est pas possible...

parce que tu confonds encore vecteurs et longueurs.
pour éviter des erreurs avec des différences de vecteurs , il vaut mieux les transformer en somme, puis Chasles (encore et encore...)



(on pouvait d'ailleurs le faire dès le début avec M : )

que vaut quand on connaît

Pour répondre à Mathafou,
KA-KB=KA+BK=BK+KA=BA
Mais on veut AB ?

Pour répondre à Pirho,
KB=-BK et BK=-KB

"Mais on veut AB ?"
oui et (en vecteurs) BA = -AB et MK = -KM
donc 2MK.BA = ?

BA = -AB et MK = -KM
donc 2MK.BA = -2KM.-AB= 2KM.AB  

CQFD.

Donc c'est juste !!?
Merci beaucoup pour votre aide !!
Je pense que je vais commencer un autre sujet pour poser la 3eme question parce qu'elle pourrait aider d'autres personnes

Bonjour,

J'ai déjà posé la question 2 dans un autre sujet et j'ai eu la réponse, la question était :

2. On a le segment AB=5cm et le point K qui est le milieu du segment [AB]. Démontrer que, pour tout point M du plan, on a : MA^2-MB^2=2KM.AB (avec KM et AB en écriture vectorielle)

J'aimerais maintenant comprendre comment répondre à la question 3 :

3. Construire l'ensemble des points M du plan tels que MA^2-MB^2=20

J'ai seulement réussi à trouver qu'il y a une infinité de points M dans le plan et que :
KM-AB=20 et
en vecteurs : KM.AB=10
Mais je n'arrive pas à les utiliser pour la suite...

*** message déplacé ***

toutes les questions d'un même exercice doivent être dans le même sujet.
(parce que les questions suivantes dépendent du même énoncé de base et du résultat, voire même des calculs, des questions précédentes.)

NE RÉPONDEZ PAS S'IL VOUS PLAIT, JE VAIS CONTINUER AVEC CETTE QUESTION À LA SUITE DE L'AUTRE QUESTION DANS LE PREMIER SUJET. Merci !

*** message déplacé ***

D'accord, je remet la question 2 pour se la rappeler :

2. On a le segment AB=5cm et le point K qui est le milieu du segment [AB]. Démontrer que, pour tout point M du plan, on a : MA^2-MB^2=2KM.AB (avec KM et AB en écriture vectorielle)

J'aimerais maintenant comprendre comment répondre à la question 3 :

3. Construire l'ensemble des points M du plan tels que MA^2-MB^2=20

J'ai seulement réussi à trouver qu'il y a une infinité de points M dans le plan et que :
KM-AB=20 et
en vecteurs : KM.AB=10
Mais je n'arrive pas à les utiliser pour la suite...

KM-AB=20 (en longueurs donc, vu que 20 est un nombre) est complètement faux

il y a uniquement

indice : soit H le projeté orthogonal de M sur la droite (AB)
décomposer via H par Chasles.

KM=KH.HM ?

un vecteur n'est pas égal à un produit scalaire ! un produit scalaire est un nombre

KM = KH + HM (Chasles)

Mince... J'ai confondu... Merci..
Mais du coup je vois pas à quoi ça peut servir vu qu'on ne connait pas la longueur de KH et HM parce que H est le projeté orthogonal de M et il y a une infinité de point M dans le plan...

il y a effectivement une infinité de points M qui conviennent
mais ils ne sont pas n'importe où !

et tu vas arrêter avec tes histoires de longueurs
la longueur de HM ne sert absolument à rien du tout
on calcule avec des VECTEURS.
en développant le produit scalaire

et en tenant compte ensuite que et sont colinéaires (K, H, A et B sur la même droite)
et que et sont ... comment donc déja ?

Donc KH et AB sont colinéaires
HM et AB sont orthogonaux comme H est le projeté orthogonal de M sur la droite (AB).
On sait que quand deux vecteurs sont orthogonaux, leur produit scalaire est égal à 0. Donc je pense qu'on peut faire :
KM.AB=(KH+HM).AB=KH.AB+HM.AB=KH.AB
??

oui

et comme et sont colinéaires, comment calcule-t-on leur produit scalaire ?
en particulier quel est le sens de et sa longueur ?
donc où exactement est H ?
dépend il finalement de M ou pas ?

conclusion ?

On avait dit que KM.AB=10 non ??

Pour calculer le produit scalaire de KH et AB, comme ils sont colinéaires, il faut faire ||KH||×||AB|| si ils sont de même sens. Mais s'ils sont de sens opposé, il faut faire -||KH||×||AB||

Le sens de KH peut être du sens que AB ou du sens de BA vu qu'il peut être n'importe où sur la droit (AB) ?? La longueur de KH est inconnue, il faut la calculer grâce à AB, on sait que AB=5 donc KH doit être égal à 2 pour que KH.AB=10

Donc H est à 2cm de K et à 0.5cm de B ??

Pour savoir s'il dépend de M ou pas, je ne pense pas du coup vu qu'on n'a pas utilisé M pour trouver H.

Conclusion, comme KM.AB=KH.AB=10
Alors MA^2-MB^2=2KH.AB=2×2×5=20

Mais la question de départ était de construire l'ensemble de points M du plan tels que MA^2-MB^2=20
On sait où on peut placer le point H mais le point M je dois le placer où en sachant que tous les points M sont perpendiculaires au point H du coup je pense... Donc je dois tracer une droite perpendiculaire à la droite (AB) au point H ??

le sens de KH est le même que celui de AB car le produit scalaire 10 est > 0

et pour conclure :
l'ensemble des points M cherché est l'ensemble de tous les points M qui se projettent orthogonalement en ce point H fixé là
ayant construit H (à 2cm de K du coté de B) comment construirais tu un point M qui se projette en H ?

je n'avais pas tout lu

C'est super, merci beaucoup pour votre aide. J'ai enfin pu comprendre, merci !