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produit scalaire DM
Dans le plan, on considére un cercle C de centre O et de rayon R
[ij]un diàmétre de ce cercle.
question: montrer que, pour tout point M du plan on a :
vecM SCALAIRE vec MJ = MO² - R²
j'ai démontré (avec votre aide) que vecMI SCALAIRE vec MJ = MO² -R²
et maintenant :
On trace par M une droite quelconque qui coupe le cercle en A et B
démontrer que :
vec Mi.vecMJ = vec MA.vecMB (. : scalaire).
j'ai déjà essayé de décomposé mais si c'est la bonne méthode je ne doit pas mis prendre corectement.
j'aimerai un petit coup de pouce merci d'anvance
si je développe ca donne
MA.MB + MA BJ + AI.MB + AI.BJ
MAIS JE NE SAIS PAS PAR QUOI ET COMENT SIMPLIFIER
pourraitu m'aider encore un peu?
Connais tu la propriéte du triangle rectangle et de son cercle circonscrit ??
Prend un cercle de diamètre [IJ]. Alors, pour tout point M sur le cercle, le triangle IMJ est rectangle en M !
Oui, mais je te citais la propriété dans le cas général, en prenant M sur le cercle.
Sinon, je suis d'accord, ce sont bien les triangles IJA et IJB qui sont rectangles en A et B pour ton exercice ...
Es-tu d'accord avec ceci :
MI.MJ=(MA+AI).(MB+BJ) = MA.MB + MA BJ + AI.MB + AI.BJ
Ensuite, es-tu d'accord que (AI) et (MB) sont perpendiculaires donc que AI.MB=0
oui je le voit sur mon dessin mais je n'arrive pas à le prouver donc je ne sais pas si c'est comme ca pour tout point M ou si c'est une conséquence de mon dessin
Ah non, je t'ai dis une bétise, j'avais fait une figure fausse, désolé, AI et MB ne sont pas perpendiculaires !!
Voici une piste :
construit le point B', symétrique de B par rapport à O (donc [BB'] est un diamètre)
DOnc :
MA.MB=(MB'+B'A).MB = MB'.MB + B'A.MB
Or : (B'A) et (MB) sont perpendiculaires (théorème triangle rectangle d'hypoténuse [BB'] et cercle circonscrit).
Donc : B'A.MB=0
Donc : MA.MB=MB'.MB.
Tu es OK jusque là ?
On a démontré que MA.MB=MB'.MB, avec [BB'] un diamètre du cercle.
Or, on a démontré que MI.MJ=MO²-R² , quel que soit les points I et J tels que [IJ] soit un diamètre du cercle.
Donc ... voilà ! Non ?
pourrait tu m'aider pour la prochaine question ?
etudier le signe de vec MA. vec MB suivant la position de M par rapport à C
donc si M est à l'intérieur du cercle on a :
MO<R
MO²<R²
donc MO²-R²<0
et pour l'autre cas c'est le mempe raisonnnement, c'est ca????
en fait,
MO²-R²=(MO+R)(MO-R)
Comme MO+R est toujours positif, alors MO²-R² est du signe de MO-R.
Donc, en effet, tu compares la longueur MO par rapport au rayon du cercle.
Donc :
si M est à l'exterieur du cercle MO>R, donc MO-R>0 donc MO²-R²>0
si M est à l'interieur du cercle MO
si M est sur le cercle MO=R, donc MO²-R²=0
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