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produit scalaire et angles

Posté par
matrix 15-01-07 à 19:08

bonjour a tous
voila j'ai un exo que j'arrive pas sur les produits scalaires
ABC est un triangle équilateral de cote a
I est le barycentre de {(A;1)},{(B;4)} et J le barycentre de {(A;3)}, {(C;3)}
1-) Determiner AI.AC et AJ.AC
2-) Montrer que les droites (IJ) et (AC) sont orthogonales $
merci beaucoup

Posté par dolma (invité)re : produit scalaire et angles 15-01-07 à 19:42

I est le barycentre de {(A;1)},{(B;4)}

donc, \vec{AI}+4\vec{BI}=\vec{0}

donc, \vec{AI}+4\vec{BA}+4\vec{AI}=\vec{0}

donc, 4\vec{BA}+5\vec{AI}=\vec{0}

donc, 5\vec{AI}=-4\vec{BA}

donc, \vec{AI}=-\frac{4}{5}\vec{BA}

J est le barycentre de {(A;3)},{(C;3)}

donc, 3\vec{AJ}+3\vec{CJ}=\vec{0}

donc, \vec{AJ}+\vec{CJ}=\vec{0}

donc, \vec{AJ}+\vec{CA}+\vec{AJ}=\vec{0}

donc, 2\vec{AJ}+\vec{CA}=\vec{0}

donc, \vec{AJ}=-\frac{1}{2}\vec{CA}

1)

\vec{AI}.\vec{AC}=-\frac{4}{5}\vec{BA}.\vec{AC}=-\frac{4a^2}{5}cos(\frac{\pi}{3})=-\frac{2a^2}{5}

\vec{AJ}.\vec{AC}=-\frac{1}{2}\vec{CA}.\vec{AC}=\frac{1}{2}\vec{AC}.\vec{AC}=\frac{a^2}{2}

2)

(IJ) est dirigée par \vec{IJ}
(AC) est dirigée par \vec{AC}

\vec{IJ}.\vec{AC}=(\vec{IA}+\vec{AJ}).\vec{AC}=(-\vec{AI}+\vec{AJ}).\vec{AC}=-\vec{AI}.\vec{AC}+\vec{AJ}.\vec{AC}=-(-\frac{2a^2}{5})+\frac{a^2}{2}=\frac{9a^2}{10}

Posté par
pgeodre : produit scalaire et angles 15-01-07 à 19:59

bonsoir matrix,

Dans l'énoncé, J ne serait-il pas plutôt
le barycentre de {(A;3),(C;2)} ??

...

Posté par dolma (invité)re : produit scalaire et angles 15-01-07 à 21:45

Effectivement, je suis d'accord avec pgeod

Posté par
matrixre : produit scalaire et angles 15-01-07 à 22:37

bonsoir oui c'est en effet {(A;3),(C;2)} erreur de ma part

Posté par
matrixre : produit scalaire et angles 15-01-07 à 22:38

I bar ( A,1) ( B,4 ) donc AI .AC = 4/5 AB . AC donc 4/5 a *a *racine de 3/2
J bar ( A, 3 ) ( C , 2 ) donc AJ .AC = AJ .AC * cos ( AJ .AC) = 2/5 a *a*racine de 3/2
mais je ne trouve pas 0 pour la 2

Posté par
pgeodre : produit scalaire et angles 16-01-07 à 19:29

bonsoir,

c'est un peu normal  : cos(60°) = cos (/3) = ??

..

Posté par
matrixre : produit scalaire et angles 20-01-07 à 00:26

1/2

Posté par
pgeodre : produit scalaire et angles 20-01-07 à 10:17

Et donc :

AI = 4/5 AB
AJ = 2/5 AC

AI.AC = 4/5 AB AC cos(60°) = 2/5 a²
AJ.AC = 2/5 AC AC cos (O°) = 2/5 a²

IJ.AC = (AJ - AI). AC = AJ.AC - AI.AC = 0
donc (IJ) perpendiculaire à (AC) en J.

...


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