Soit A (xA ; yA) un point du plan. Soit D une droite d'équation ax+by+c=0. (avec a et b non tous 2 nuls).
Le but du problème est de calculer la distance entre le point A et la droite D. Dans tout ce qui suit, nous noterons H (xH ; yH) le projeté orthogonal de A sur D.
1.Soit vecteur n (a ; b). Démontrer que le vecteur n est donc orthogonal à la droite D.
(On pourra utiliser qu'un vecteur directeur u de la droite D qui est vecteur u (-b ; a). En déduire que vecteur AH et vecteur n sont colinéaires et que :
|vecteur AH*vecteur n| = AH * ||vecteur n||.
2. Démontrer que : vecteur AH*vecteur n = a(xH - xA) + b(yH - yA). Puis, en utilisant le fait que H est un point de la droite D, en déduire : vecteur AH*vecteur n = -(axA + byA + c).
3. Déduire des questions précédentes que:
|axA + byA + c|
AH= ........................ Racine carré (a²+b²)
4. Applications :
a) Soient A(2 ;7) et D la droite d'équation 3x - y +2 = 0.
Calculer la distance entre le point A et la droite D.
b) Déterminer l'équation du cercle de centre oméga(5 ;1) et tangent à la droite D d'équation x+y-4=0.
J'aimerais avoir la correction à partir du 2. en déduire AH.n=-(axA+byA+c). Car je bloque sur tout le reste de l'exercice. Merci bien de votre aide.
bonjour,
il ya une faute dans ta formule: il s agit de |vecteur AH.vecteur n| = AH * ||vecteur n||
Il s'agit du produit scalaire
dans un repere orthonormé comment calculer u.v avec u(x,y) et v(x',y') ?
bonjour,
ce que je comprends, tu as réussis la première question,
donc nous savons que le vecteur n est donc orthogonal à la droite D,
or H appartient à D donc
donc
d'autre part
or car et sont colinéaires
or
donc en prenant la valeur absolue du produit scalaire
donc
K.
4)Soient A(2 ;7) et D la droite d'équation 3x - y +2 = 0.
Calculer la distance entre le point A et la droite D.
d(A,D)=|3*2 -7+2|/(3²+1²)
=1/10
=10/10
b) Déterminer l'équation du cercle de centre oméga(5 ;1) et tangent à la droite D d'équation x+y-4=0.
tu calcule la distance de à D qui est le rayon r du cercle
l'equation du cercle est (x-5)²+(y-1)²=r²
d(,D)= |5*1 + 1+(-4)| / (1²+1²)²=2/2=2
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :