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produit scalaire et hyperbole pr 15/04
Bjr, voilà un exercice qui me pose problème du début à la fin:
Dans un repère orthonormal (O,i,j), C est l'hyperbole d'équation y= 1/x. M1, M2, M3 sont 3 points de H d'abscisses respectives x1, x2, x3 telles que : x3 <0<x2 <x1.
Le but de l'exercice est de démontrer que l'orthocentre H du triangle M1M2M3 est un point de l'hyperbole C.
1. a) Démontrez que le vecteur M1M2 est colinéaire au vecteur u de coordonnées (x1 x2 ;-1). (J'ai calculé les coordonnées de M1M2 (x2-x1;1/x2-1/x1)).
b)Démontrez de même que M1M3 est colinéaire à v de coordonnées (x1 x3;-1). (J'ai calculé les coordonnées de M1M3 (x3-x1;1/x3-1/x1)).
2. On note (x ;y) les coordonnées de H.
a) Pourquoi M3H . u = 0 et M2H . v = 0 ?
b) Déduisez-en que les coordonnées (x ;y) de H vérifient le système :
(x1 x2)x - y = x1 x2 x3 - 1/x3
(x1 x3)x - y = x1 x2 x3 - 1/x2
c) Trouvez alors les coordonnées de H en fonction de x1, x2, x3 et déduisez-en que H est un
point de C.
J'aimerais avoir de l'aide dans cet exercice car le controle appproche. La correction pourrait m'être utile pour comprendre. De plus, cela me servira pour les autres exercices. merci BCP et @+ bisous
a)
M1M2 a pour coordonnées (x2-x1,1/x2-1/x1), soit (x2-x1,(x1-x2)/x2x1),
Deux vecteurs sont colinéaires ssi leurs coordonnées sont proportionnelles, soit ssi :
(x2-x1)/x1x2=[(x1-x2)/x2x1]/(-1), ce qui vérifié..
V(M1M2) est donc colinéaire à v(U).
b) Pour le b, on fait exactement la même démonstration que pour le a)
2.a)
Comme H est l'orthocentre de M1M2M3, M3H est perpendiculaire à M1M2, donc à U.
On a donc M3H .U=0.
De même, M2H .V= 0
b)
M3H(x-x3,y-1/x3)
M2H(x-x2,y-1/x2)
x et y sont tels que :
(x-x3)*x1x2-y+1/x3 =0 ou x(x1x2) - y = x1x2x3-1/x3
De même, on obtient avec le second produit scalaire : x(x1x3) - y = x1x2x3-1/x2
c) En faisant la soustraction membre à membre on a :
: x(x1x2-x1x3) = -1/x3+1/x2 = (x3-x2)/x2x3
En simplifiant par (x2-x3), on obtient x = -1/(x1x2x3).
Si le remplace dans la premiers équation du système , j'obtiens : ou -(x1x2)/(x1x2x3) - y = x1x2x3-1/x3.
Soit - y=x1x2x3 ou y= -x1x2x3=1/x
Donc H(-1/(x1x2x3),-x1x2x3), comme y=1 /x, on conclut que H appartient à l'hyperbole.
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