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Produit scalaire et orthogonalité
Bonjour !
Je suis en plein dans mon DM de maths, mais je bloque sur un exercice du produit scalaire et orthogonalité.
Je vous explique :
"Dans un plan orienté ABC est un triangle direct quelconque, AECB et ACFG sont des carrés directs et le point I est le mileiu du coté [BC]. (là j'ai fait la figure)
1) a) exprimer l'angle(AE, AG) en fonction de l'angle orienté (AB,AC)
---> ça j'ai mis que c'était : 2
- [(2)/4 - (AB,AC)]
b) Démontrer que les droites (EC) et (BG) sont perpendiculaires. ---> ça je n'y suis pas arrivé, car je n'est aucune indication sur les normes pour appliquer la formule... Je sais qu'il faudrait que je trouve que EC.BG = 0..
2)a) démontrer que AB+AC = 2AI ---> ça je l'ai fait !
2)b) Démontrer que les droites (AI) et (EG) sont perpendiculaires. ---> Alors ça j'ai commencé et je suis arrivé à :
AI.EG : 1/2 (AB.AG + AC.EA) Mais après je ne sais pas comment faire pour prouver que AI.EG = 0
Voilà j'espère que vous pourrez m'aider a finir cet exercice !
Merçi d'avance
Bonne matinée.
[img1]
Erreur d'énoncé.
AECB ne peut pas être un carré.
Le point C a été remplacé par P dans ce qui suit.
(AE;AG) = (AE;AB) + (AB;AC) + (AC;AG)
(AE;AG) = Pi/2 + (AB;AC) + Pi/2
(AE;AG) = Pi + (AB;AC)
-----
vect(EC) = vect(EA) + vect(AC)
vect(BG) = vect(BA) + vect(AG)
vect(EC).vect(BG) = (vect(EA) + vect(AC)).(vect(BA) + vect(AG))
vect(EC).vect(BG) = vect(EA).vect(BA) + vect(EA).vect(AG) + vect(AC).vect(BA) +vect(AC).vect(AG)
Or vect(EA).vect(BA) = 0 (puisque EA et BA sont perpendiculaires)
et vect(AC).vect(AG) = 0 (puisque AC et AG sont perpendiculaires)
-->
vect(EC).vect(BG) = vect(EA).vect(AG) + vect(AC).vect(BA)
vect(EC).vect(BG) = EA.AG.cos(EA;AG) + AC.BA.cos(AC;BA)
Or EA = BA et AG = AC -->
vect(EC).vect(BG) = EA.AG.(cos(EA;AG) + cos(AC;BA))
et comme (AE;AG) = Pi + (AB;AC) -->
vect(EC).vect(BG) = EA.AG.(cos(Pi + (AB;AC)) + cos(AC;BA))
vect(EC).vect(BG) = EA.AG.(-cos(AC;BA) + cos(AC;BA))
vect(EC).vect(BG) = 0
Et donc les droites (EC) et (BG) sont perpendiculaires.
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Contunue pour la suite ...
merçi beaucoup J-P.
Je réfléchie pour les questions suivantes notamment pour la derniere.. Et je vous tiens au courant
Effectivement ce n'est pas le carré AECB mais AEDB, excusez moi...
Je crois que j'ai trouvé ..
A la fin je trouve vectAI . vectEG = 1/2 (vectAB.vectEA + vectAB.vectEA + vectAC.vectEA + vectAC.vectAG)
= 1/2 (vectAB .(vectEA.vectAG) + vectAC.(vectAG.vectEA)
= 1/2 (vectAB .(EA.AG.(cos(EA;AG)) + (vectAC .(AG.EA.(-cos(AG;EA))
= 1/2 (vectAB . ((EA.AG.(cos(Pi + (AB;AC)) + (vectAC . ((EG.EA . (-cos(Pi+ (AB;AC))
NOn en fait je me perds dans les calculs... Pouvez vous me dire si je suis sur la bonne route ?
vect(AI) = vect(AB) + vect(BI)
vect(AI) = vect(AB) + (1/2).vect(BC)
vect(AI) = vect(AB) + (1/2).(vect(BA) + vect(AC))
vect(AI) = (1/2).vect(AB) + (1/2). vect(AC)
vect(EG) = vect(EA) + vect(AG)
vect(AI).vect(EG) = (1/2).(vect(AB) + vect(AC)).(vect(EA) + vect(AG))
vect(AI).vect(EG) = (1/2).(vect(AB).(vect(EA) + vect(AB).vect(AG) + vect(AC).vect(EA) + vect(AC).vect(AG))
Or vect(EA).vect(AB) = 0 (puisque EA et AB sont perpendiculaires)
et vect(AC).vect(AG) = 0 (puisque AC et AG sont perpendiculaires)
-->
vect(AI).vect(EG) = (1/2).(vect(AB).vect(AG) + vect(AC).vect(EA))
vect(AI).vect(EG) = (1/2).(AB.AG.cos(AB;AG) + AC.EA.cos(AC;EA))
Comme AB = EA et AG = AC, on a :
vect(AI).vect(EG) = (1/2).AB.AG.(cos(AB;AG) + cos(AC;EA))
vect(AI).vect(EG) = (1/2).AB.AG.(cos(Pi/2 + (AB;AC)) + cos(Pi-(Pi/2 + (AB;AC))))
vect(AI).vect(EG) = (1/2).AB.AG.(cos(Pi/2 + (AB;AC)) - cos(Pi/2 + (AB;AC)))
vect(AI).vect(EG) = 0
Et donc les droites (AI) et (EG) sont perpendiculaires.
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Sauf distraction.
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