As-tu réussi à faire une figure de ce triangle où 2 médianes sont perpendiculaires ?

Dans un triangle ABC, les médianes (AI) et (BJ) issues respectivement de A et B sont perpendiculaires. Les médianes (AI), (BJ) et (CK) se coupent au point G, centre de gravité du triangle. Prouver que CA² + CB² = 5AB²
J'ai essayer avec le théoréme de la médiane et Chasle mais je ne parviens pas a demontrer le resultat ! Qelqu'un peut-il me lancer sur une piste SVP ? pour la figure du triangle, il yen a une dans l'énoncé mais le triangle n'a pas l'air d'être remarquable

*** message déplacé ***

bonjour,

Il faut simplement utiliser pythagore dans les triangles rectangles en G,
et utiliser le fait que G est situé au 1/3 de la médiane.

AC² = (2 AJ)² = 4 (AG² + GJ²) = 4 (AG² + (GB/2)²)
CB² = (2 BI)² = 4 (GB² + GI²) = 4 (GB² + (AG/2)²)
avec AB² = AG² + GB²

d'où la réponse recherchée...

...

*** message déplacé ***

Bonjour,
Voilà je connais cet exercice et il est dans la partie du théorème des médianes.
Donc, en ça ne répond pas à la question en utilisant Pythagore.
En plus, G étant le centre de gravité GJ ne peut pas être égal à BG/2 mais plus tôt à  BG/3.
Moi aussi je rencontres des difficultés dans cet exercice.
Alors je demandes de l'aide, c'est dur!
Mais merci quand même pgeod

bonsoir exercice,

Ce que tu dis n'est pas juste.
"En plus, G étant le centre de gravité GJ ne peut pas être égal à BG/2 mais plus tôt à  BG/3." C'EST FAUX.
C'est donc assez normal que tu ais quelques difficultés dans cet exercice.
Une résolution avec pythagore en 3 lignes vaut peut-être mieux que pas de résolution du tout. Qu'en penses-tu ?

..

C'est vrai GJ est bien  égal à BG/2, je me suis trompé!!
Mais il faut utiliser le théorème des médianes.

Merci pgeod j'avais trouvé cette solution juste avant que tu me la donnes mais je cherchais une justification en passant par le théorème de la médiane ! mais tu as raison il vaut mieux une résolution toute simple avec pythagore qu'une résolution sur 50 ligné avec la médiane ! merci bien à toi !