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Produit scaliare: lieu géométrique
Bonjour, je n'arrive pas à faire mon exercice pouvez vous m'aidez?
Voici l'énoncé:
C est un cercle de centre O et de rayon 3, H est un point du plan tel que OH=5
On note d la perpendiculaire à (OH) passant par H.
M est un point quelconque de d, on construit les tangentes issues de M, en B et D au cercle C.
La droite (BC) coupe (OM) en N et (OH) en I.
1- Démontrer que les droites (OM) et (BC) sont perpendiculaires.
2- Justifier chacune des égalités suivantes:
vecteurOI.vecteurOH=vecteurOM.vecteurOI=vecteurOM.vecteurON=vecteurOM.vecteurOC=OC²=9
3- Que peut-on en déduire sur la position de I lorsque M décrit la droite d?
4- Sur quelle courbe le point N se déplace t-il lorsque M décrit la droite d?
Voila, je n'ai réussi qu a faire la question 2
après pour le reste je bloque...
MERCI.
avec le produit scalaire..
la droite BM est la tangeante au cercle C de centre O passant par B donc (1)
la droite DM est la tangeante au cercle C de centre O passant par D donc (2)
il faut démontrer que les droites (OM) et (BD) sont perpendiculaires.
soit démontrer que
or on a d'après Chasles
d'après (1) et (2) cela se simplifie en
or OB=OD = R rayon du cercle C
donc
K.
Tu peux aussi montrer que MC=MB (grace au théorème de Pythagore par exemple ou en montrant que les triangles OMB et OMC sont isométriques)
Et puisque OC=OB=3 , en déduire que (OM) est la médiatrice de [CB] ... 
Matouille2b
Pour la question 2, il suffit de considérer les projections des points sur les différentes droites, enfin ca je pense que tu as réussi à le faire ...
Pour la question 3
OI et OH sont des vecteurs colinéaires et tu viens de montrer que OI.OH = 9
Donc ils sont colinéaires de meme sens et OI = 9/OH = 9/5
Donc le point I est indépendant de la position du point M sur la droite d ...
Pour la question 4
Tu peux remarquer que le triangle ONI est rectangle en N (car (OA) et (CB) sont perpendiculaires); donc N appartient au cercle de diamètre [OI] (car I est fixe il ne dépend pas de M)
Matouille2b
Je suis vraiment désolé de vous embeté mais je voudrai savoi pourquoi le fait que OI=9/5 fait que le point I est indépendant du point M (pour la question 3) ?
Merci
Simplement parce que les vecteurs OI et OH sont colinéaires de meme sens donc I appartient à (OH) et la distance OI est constante=9/5
Si tu avais seulement le fait que OI = 9/5 alors le point I serait sur le cercle de centre O et de rayon 9/5 ....
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