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produits scalaires, points cocycliques
Bonsoir,
J'ai un exercice où j'ai pu répondre à la première partie, mais je bloque pour la suite. Je vous donne l'intégral, si vous pouviez me donner un petit coup de pouce...
Une droite 
coupe le cercle 
de centre O et de rayon r, en deux points A et B. [AA'] diamètre.
a) Pour tout point M de situé à une distance d de O, décomposer MB (vecteur) à l'aide de A', montrer que MA.MB = (MO + OA).(MO - OA), puis MA.MB = d2 - r2
Tout ceci, j'y suis arrivée.
b) Les points A, B, C et D sont tels que (AB) et (CD) sont sécantes en I. Démontrer que A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si IA.IB = IC.ID
Voila, je n'arrive pas à réutiliser les calculs faits dans le a), mais peut-être qu'il ne faut pas les utiliser.
J'ai essayer de partir avec : A, B, C et D 
si BA.BA' = DA.DA' = CA.CA' = 0 et j'ai fait des projetés orthogonaux pour réduire, mais je ne trouve rien qui ressemble à ce que l'on me donne.
Merci de m'apporter de l'aide.
bonsoir,
Il faut effectivement utiliser la question précédente.
La difficulté est de construire un raisonnement par équivalence.
Soit donc les points A, B, C et D tels que (AB) et (CD) sont sécantes en I.
Puisque les quatre points ne sont pas alignés, il existe un cercle, et un seul,
de centre O et de rayon r, tel que A, B et C soient cocycliques.
D'après 1, quel que soit M sur (AB), on a MA.MB = d² - r²
C'est donc vrai pour I qui est sur (AB) : IA.IB = d² - r²
Supposons que D soit tel que IC.ID = IA.IB, et que D' soit le point
de (IC) appartenant au cercle de centre O et de rayon r, alors :
IC.ID = IA.IB
<=> IC . (ID' + D'D) = IA.IB
<=> IC.ID' + (IC . D'D) = IA.IB (1)
et comme IC.ID' = IA.IB = d² - r²
(1) <=> IC . D'D = 0 (2)
et comme D' est aligné avec I, C et D
(2) <=> D'D = 0
<=> D' est en D.
...
Bonsoir,
déjà, merci beaucoup de m'avoir répondu !
Donc, je récapitule pour voir si j'ai bien compris :
-On suppose que IA.IB = IC.ID avec A, B et C appartenant au cercle de centre O.
-On a IA = IB = d2 - r2 car (voir le 1...pour tout M)
-On suppose D' appartient au cercle de centre O
-Avec Chasles, on développe IC.ID' + IC.DD' = IA.IB = d2 - r2
-Comme D' appartient au cercle, IC.ID' = d2 - r2 (est-ce cela ?)
-Donc IC.DD' = 0
-Alignement I, C, D' <=> DD' = 0 <=> D = D'
Est-ce cela ?
Si oui, comment justifier que
A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si IA.IB = IC.ID
Les 4 points pourraient appartenir au cercle même si l'égalité n'est pas vérifiée... il faudrait que je rajoute quelque chose ?
Merci encore
Celoo
Je pourrais faire la démonstration en partant à l'envers ? c'est à dire D' appartient au cercle (avec toujours A, B et C appartient au cercle) donc IC.ID' = d2 - r2 = IA.IB
Avec Chasles : IC.ID + IC.DD' = IA.IB ...et là, je suis bloquée ...
Notre professeur est très pointilleux et j'ai peur qu'il me fasse ce reproche, je veux dire que ma démonstration ne fonctionne que dans un sens : si IA.IB = IC.ID alors A, B, C et D appartiennent au cercle
Et non A, B, C et D n'appartiennent au cercle que si IA.IB = IC.ID
Pour ce soir, je vais me coucher, peut-être que la nuit va porter conseil !
Merci encore de m'avoir beaucoup aidée, je vais essayer de finir...mais si tu as une idée, elle est la bien venue.
Bonsoir
Celoo
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