une aide ?

pour ma borne b ?

je désespère

toujours pas ?

rooooo je peux pas avancer sans vous merci!

Bonjour, jeanbougon

On ne peut pas obligatoirement prolonger une fonction absolument monotone en b. Prendre l'exemple de
f(x)= tan(x)  qui est absolument monotone sur [0,/2[ mais qui n'est pas prolongeable en /2.

Pour la question c, il suffit de remarquer que la dérivée n-ième d'une fonction absolument monotone est absolument monotone.

Pour la question d, il suffit d'appliquer le théorème suivant:
si f est continue sur [a,b[, de classe C^n sur ]a,b(, et si pour tout n, la dérivée n-ième de f en a admet une limite finie en a, alors, f est de classe C^n sur [a,b[.

je n'avais pas pensé à un contrexemple pour la b) et je suis d'accord avec toi.
Pour la c), si f absolument monotone, on a f (dérivée n-ième) positive. Pour que f(dérivée nième) soit absoluement monotone, il faut que f(2n) soit positive. Donc f dérivée n-ième est absolument monotone (par récurrence)?
Pour la d), c'est le théorème de prolongement C(p) que tu me cites. Mais comment tu as que ma dérivée n-ième admet 1 limite finie en a ? Et c'est le prolongement qui doit être Cinfini.

Une fonction absolument monotone est une fonction dont toutes les dérivées sont positives (pas seulement la dérivée n-ième). Cela répond à ta première question.

Pour la deuxième question: le théorème que j'ai cité s'applique au prolongement de la fonction absolument monotone sur [a,b].

oui ok. Comment dois-je faire pour la suite? Merci à toi pour ça déjà!

Je n'ai pas vu de suite. Les questions a,b,c et d ont été traitées ...

il reste : Montrer que f(barre) dérivée nième = f dérivée nième (barre)
En déduire que f barre est absolument monotone sur [a,b[

C'est la conséquence directe du théorème que je t'ai cité et que tu appelles le théorème de prolongement Cp. Ton prolongement (f barre)  est C-infini, et ses dérivées en a sont les limites de fonctions qui sont positives, elles sont donc positives ...