salut

et alors qu'as-tu fait ?

ensemble de définition ?

limite aux bornes ?

.....

Pour tout x € R+*, la fonction ln s'annule en 1
Ainsi, la fonction est definie sur R*+ privé de 1

Ainsi nous devons etudier les limites au borne de ]0,1[U]1,+infini[

POUR LA LIMITE QUAND X TEND VERS 0
on peut untiliser les equivalence (ici pouvez vous me precisez car notion car je ne sais pas a quel moment on ne peut plus l'utiliser et il faut utiliser les o)
comme lim (x->0)x=0
ln (1+x)~ x
(x+1)~ x
ln (1+x-1)~ x-1~x
ON a finalement lim f(x)(x->0)= x=0

la limite en 0  est directe :::

le numérateur tend vers 0 et le dénominateur vers -oo .....

OH OUI!

Limite quand f tend vers 1 est +infini
le numerateur tend vers 2ln(2)
le denominateur tend vers 0

Limite quand f tend vers +infiny (methode terminale on a une FI)
NUMERATEUR TEND VERS INFINI ET DENOMATEUR AUSSI

on peut utiliser les equivalence

pour la limite en 1 les résultats de terminale suffisent aussi mais distinguer à gauche et à droite !!!

en l'infini lim [ln(x+1)]/ln(x) = ....

donc par produit .....


il n'y a donc pas de FI ...

bon, je reprend tous ca
Soit f une fonction define par
       f(x)= ((x+1)ln(x+1))/ln(x)


-Ensemble de defintion
Pour tout x € R+*, la fonction ln s'annule en 1
Ainsi, la fonction est definie sur R*+ privé de 1

-Etude les limites au borne de ]0,1[U]1,+infini[
*le numerateur tend vers 0 et le denominateur tend vers -oo
Donc lim f(x)'x0'=0^-
*le numerateur tend vers 2ln(2) le denominateur tend vers 0
Etudions les limtes à gauche et à droite lorsque que x1
Pour tout x R*+ privé de 1, x+1>1
Donc par la stricte croissance de la fonction ln, on a ln(x+1)>0
Le numerateur reste positive
Pour tout x 0,1[ la fonction ln est srictement negatif
on a donc par quotient f(x)<0 sur cette intervalle
D'où lim f(x)(x1,x<1)=-
Pour tout x>1, ln est strictement positif on a donc par quotient f(x)>0 sur cet intervalle
D'où lim f(x)(x1,x>1)=+
* ICI, je ne vois comment trouver la limite sans le prog de sup
Bon si je l'utilise
J'ai lim ln(1+x)/ln(1+(x-1))(x+)= (x+o(x))/(x+1+o(x))=1
On a finalement par produit lim f(x)( x+)= +

2eme question La fonction est elle prolongeable par continuité

CORRECTION
J'ai lim ln(1+x)/ln(1+(x-1))(x+)= (x+o(x))/(x-1+o(x))=1

Ici,
on me demande d'en deuire si f est prolongeable mais on me precice pas en quel réel Bizarre
(Sauf, s'il suffit de prouver que pour un reel f n'est pas prolongeable pour en deduire qu'elle n'est pas prolongeable par continuité)
Mais je suppoce que ce reel vaut 1
Lorsque l'on s'interresse à la limite à gauche et à droite en 1, les deux limites sont differentes
Donc la limite en f lorsque x tend vers 1 n'existe pa et n'est pas finie
Par consequant f n'est pa prolongeable par continuité en 1

Est ce la bonne redaction en particulier pour les branche infinies

Juste un oeil

puisque la limite en 0 est finie on peut prolonger f en 0 par f(0) = 0

en +oo considère simplement la limite de ln(x+1)/ln(x) (on peut aussi écrire x + 1 = x(1 + 1/x) et utiliser les propriétés algébriques du ln ...
puis ensuite multiplier par x+1 (sa limite) ....

on ne peut évidemment pas prolonger en 1 car ::
  d'une part la limite est infinie ...
  d'autre part ce n'est pas "le même infini" ....

un dl ln(1+x) = ... n'est pas valable quand x tend vers l'infini ...

Par contre il faut preciser si c'est prolongeable en +oo

on me demande si f est prolongeable par continuité

on a commencer par dire qu'elle est prolongeable en 0
apres on a prouvé qu'elle ne l'etait pas en 1
faut il montrer si elle est prolongeable en +oo (selon la logique)?

on prolonge une fonction uniquement en une valeur finie (borne de l'ensemble de définition) ... donc ça ne peut être qu'en 0 ou 1 ....

pour une borne infinie on calcule simplement une limite ....