Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

prolongement par continuité et TFI

Posté par
sasaki93 01-06-11 à 18:11

Bonsoir, j'ai un petit exo que j'ai fait et j'aimerais bien que quelqu'un me corrige si besoin. Voici l'énoncé:

On pose: f(x,y)=x^2+y^2-e^{2arctan( \frac{y}{x})

1) Donner le domaine de définition de f.
2) Calculer la limite de f quand x tend vers 0.
3) Peut on prolonger f par continuité le long de l'axe (Oy) ?
4) Calculer les dérivées partielles de f.
5) a)Montrer que f(x,y)=0 \implies f'_x(x,y)=2(x+y), f'_y(x,y)=2(y-x)
   b) A qu'elle condition peut on appliquer le théorème des fonctions implicites (TFI) tel que l'équation f(x,y)=0 définisse y comme une fonction g de x ? Calculer g'.



1) Les fonctions carré, exponentielle et arctan sont définies sur \mathbb{R}. Ainsi, f n'a de sens que si x \neq 0. Donc le domaine de définition de f est D_f=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x\neq 0\}=\mathbb{R}^2-(Oy)

2)
Soit y\in\mathbb{R}_+^* fixé.
\lim_{x \to 0^+}f(x,y)=y^2-e^{\pi}
\lim_{x \to 0^-}f(x,y)=y^2-e^{-\pi}

Soit y\in\mathbb{R}_-^* fixé.
\lim_{x \to 0^+}f(x,y)=y^2-e^{-\pi}
\lim_{x \to 0^-}f(x,y)=y^2-e^{\pi}

Pour y=0, \lim_{x \to 0}f(x,y)=-1

(bonus: et la limite quand (x,y)\to (0,0) elle existe ? j'ai l'impression que non)

3) Il s'agit d'abord de voir si: \forall y \in \mathbb{R} \lim_{x \to 0}f(x,y)<+\infty

D'après 2) cela est vrai. Cependant, \lim_{x \to 0^+}f(x,y) \neq \lim_{x \to 0^-}f(x,y) pour y\in\mathbb{R}_+^*. Donc si l'on veut prolonger par continuité on ne sait pas quelle limite choisir. Donc ce n'est pas prolongeable par continuité. (pour le coup je ne suis pas sur)


4) En tant que composition de fonction partout dérivable sur \mathbb{R} et \mathbb{R}^* f admet des dérivées partielles sur D_f et pour tout (x,y)\in D_f on a:

f'_x(x,y)=2x+\frac{2y}{x^2+y^2}e^{2arctan{\frac{y}{x}}}
2y-\frac{2}{x+\frac{y^2}{x}}e^{2arctan{\frac{y}{x}}}

5)a) Soit (x,y)\in D_f
f(x,y)=0 \implies e^{2arctan{\frac{y}{x}}}=x^2+y^2 \implies f'_x(x,y)=2x+\frac{2y(x^2+y^2}{x^2+y^2} \implies f'_x(x,y)=2(x+y)
De même, f(x,y)=0 \implies e^{2arctan{\frac{y}{x}}}=x^2+y^2 \implies f'_y(x,y)=2(y-x)

b) On considére l'équation (E): f(x,y)=0. On peut appliquer le TFI si f'_y(x,y)\neq 0 autrement dit si y-x \neq 0 i.e y \neq x d'après 5)a)

Dans ce cas le TFI dit qu'il existe g:\mathbb{R}^* \to \mathbb{R} de classe C1 tel que \forall (x,y)\in D_f, x\neq y, f(x,y)=0 \iff y=g(x). Et le TFI dit que g est dérivable sur \mathbb{R}^* et on a: g'(x)=-\frac{f'_x(x,g(x))}{f'_y(x,g(x))}=1




C'est surtout au niveau de la question 3) et 5)b) que j'aimerais être sur. Pour la 3) savoir si oui ou non on peut prolonger par continuité et pourquoi. Pour la 5)b) être sur que ma rédaction est correcte, que les ensembles sont bons et que mon calcul de g' est bon (car 1 c'est bizarre quand même). Ensuite pour la question 2) j'aimerais savoir si à partir de xce que j'ai fait on peut dire que f n'a pas de limite en (0,0) ?

Merci d'avance de vos réponses.

Posté par
sasaki93re : prolongement par continuité et TFI 01-06-11 à 18:13

bon je ne sais pas pourquoi le LaTeX a buggué. Quand c'est [\ ntt?]= c'est pour .
Quand empli c'est pour et à la fin iff

Désolé pour le double post

Posté par
Camélia Correcteurre : prolongement par continuité et TFI 02-06-11 à 14:31

Bonjour

Le LATEX a quelques ennuis en ce moment... Ne t'inquiète pas!

Alors 2) Pour y différent de 0, ton raisonnement est correct, il n'y a pas de limite quand x tend vers 0, ce n'est pas prolongeable en (y,0).

En (0,0), tu il n'y a pas de limite non plus. Tu peux regarder f(x,x) et f(x,2x) quand x tend vers 0.

5)a) Je ne suis pas sure que ta dérivée par rapport à y soit juste, de toute façon le calcul n'est pas fini. Mais comme tu trouves la suite, c'est peut-être bon... Moi je trouve (de toute façon j'ai refait le calcul)

\frac{\partial f}{\partial x}f(x,y)=2x+\frac{2y}{x^2+y^2}e^{2\arctan(y/x)}\\ \\ \frac{\partial f}{\partial y}f(x,y)=2y-\frac{2x}{x^2+y^2}e^{2\arctan(y/x)}

Si f(x,y)=0, on a e^{2\arctan(y/x)=x^2+y^2 donc il suffit de remplacer ci-dessus pour trouver \frac{\partial f}{\partial x}=2(x+y) et \frac{\partial f}{\partial y}=2(y-x)

C'est OK pour l'application du théorème!

Posté par
sasaki93re : prolongement par continuité et TFI 02-06-11 à 15:46

Citation :
En (0,0), tu il n'y a pas de limite non plus. Tu peux regarder f(x,x) et f(x,2x) quand x tend vers 0


j'avais penser à cette méthode également. Comme on trouve des limites différentes on en déduit qu'il n'y a pas de limite en (0,0).


Donc si je comprend bien 2) est bon et 3) également. A savoir on ne peut pas prolonger par continuité sur l'axe (Oy) car malgrès que la limite soit fini il y en a plusieurs c'est bien ça ?

Bon il est possible que j'ai fait des erreurs de calculs mais étant donné que j'ai trouvé les bons résultats après ça doit etre plus certainement des erreurs de recopiage sur le forum.

Donc mon application du TFI est correcte. Et tout mes ensembles sont bons également ?


(excuse moi d'être un peu lourd mais c'est parce que étant donné que c'est un exercice relativement simple ce qui est important c'est surtout la rédaction ,les ensembles enfin bref le calcul on s'en fou un peu)

Posté par
sasaki93re : prolongement par continuité et TFI 02-06-11 à 15:56

désolé pour le double post. Je m'exprime plus clairement sur le prolongement par continuité:

Si on avait la limite à gauche = limite à droite = a pour y>0 et limite à gauche = limite à droite = b pour y<0 (mais les 4 limites pas forcement égales est ce que on aurait pu prolonger par continuité dans ce cas par:

f(0,y)=a pour y>0
f(0,y)=b pour y<0

Posté par
Camélia Correcteurre : prolongement par continuité et TFI 02-06-11 à 15:58

Oui à toutes les questions sur les limites. En revanche, tu as bien fait d'insister sur l'explicitation su théorème des fonctions implicites, ça ne va pas...

Soit (a,b) tel que f(a,b)=0 et \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\neq 0 (c'est-à-dire a\not=b). Le théorème dit seulement qu'il existe un voisinage V de (a,b) tel que pour (x,y)\in V, l'équation f(x,y)=0 ait une solution unique y=g(x). Alors g est dérivable et la dérivée est ce que tu dis.

Mais tu ne peux pas affirmer que g est définie sur R^*... seulement sur un intervalle ouvert contenant a.

Posté par
Camélia Correcteurre : prolongement par continuité et TFI 02-06-11 à 16:00

Je n'avais pas vu ton deuxième post... dans ce cas oui, mais justement ce n'est pas le cas!

Posté par
sasaki93re : prolongement par continuité et TFI 02-06-11 à 16:14

ok pour le deuxième post (j'ai bien préciser si on avait. j'ai compris que justement ici on n'a pas... c'ets même ce que j'ai écrit dans mon premier post)

Je connais le TFI mais ici on ne l'applique pas en un point (a,b) fixé. Mais en tout point (x,y) de D_f tel que x\neq y. Donc en fait je dois dire: il existe deux intervalles ouverts I et J contenant respectivement x et y et il existe g une fonction de classe C^1 de I dans J tel que:

\forall (x,y)\in I\times J, x\neq y, f(x,y)=0 \iff y=g(x) c'est bien ça ?

Et après on dérive g sur I ?

(en fait pour que ce soit plus clair il vaut mieux fixé un point et conclure par l'arbitraire du point. Un peu comme si par exemple on voulait montrer qu'une fonction h est dérivable sur R. on fixe un réel x_0 et on montre que h est dérivable en x_0. Donc h dérivable sur R car x_0 est un réel quelconque)

Posté par
Camélia Correcteurre : prolongement par continuité et TFI 02-06-11 à 16:18

J'aime bien mieux ta description avec x_0. Moi j'ai pris (a,b). mais il est important de garder la relativité... Si a\neq b, il existe I_a et J_b tels que ... et on dérive g sur I_a. Il y a des cas où on peut aller un peu plus loin, mais ici ça ne me semble pas très utile...

Posté par
sasaki93re : prolongement par continuité et TFI 02-06-11 à 16:23

Ok merci effectivement l'indice a et b sur I et J c'est ce qui clochait et m'empecher de comprendre. Ici, I et J dépendent de a et b donc il vaut mieux les indexer

Encore merci et bonne fin de journée

Posté par
Camélia Correcteurre : prolongement par continuité et TFI 02-06-11 à 16:30


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !