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ptit probléme de dérivation

Posté par cirrusdiamond (invité) 11-09-07 à 10:57

bonjour a tous !
voila j'aimerais savoir prouver qu'une fonction est dérivable  en un point avec l'outil :
lim lorsque x tend vers a : (f(x)-f(a))/(x-a)
ou
lim lorsque h tend vers 0 : (f(a+h)-f(a))/(h)

pouvez vous me montrer l'exemple avec cette fonction s'il vous plait :
f(x)= (sin(x))/(1-cos(x)) est elle dérivable en 0 en se servant des outils ci dessus .

de plus ci ce n'est pas trop poussé , pouvez me montrer d'autres exemples avec d'autres fonctions .

merci beaucoup à mon sauveur !

Posté par
cailloux Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 11:26

Bonjour,

Pour étudier la dérivabilité d' une fonction en a, il faut qu' elle soit définie en a.

Ici, que vaut f(0) ?

or, \lim_{x\to 0}f(x)=\pm \infty (suivant que l' on calcule la limite à droite ou àgauche)

Ce n' est pas la peine d' aller plus loin: on ne peut pas prolonger f par continuité en 0; f n' est donc pas dérivable en 0.

Posté par
critoure : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 11:31

Bonjour,

Comme cos(0)=1, ta fonction n'est même pas définie en 0 (donc encore moins dérivable). Trouve un autre exemple !

Critou

Posté par
critoure : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 11:31

Bjour cailloux

Posté par
cailloux Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 11:34

Bonjour Critou

Posté par cirrusdiamond (invité)re : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 13:26

alors comment faites vous pour faire la limite en 0+ et 0- avec les outils ci dessous ??
lim lorsque x tend vers a : (f(x)-f(a))/(x-a)
ou
lim lorsque h tend vers 0 : (f(a+h)-f(a))/(h)

pouvez vous bien detailler la démarche . merci beaucoup

Posté par cirrusdiamond (invité)re : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 13:28

en faite c'est plutot la mise en pratique de la méthode avec ces outils que j'ai du mal a mettre en oeuvre.

Posté par
cailloux Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 13:43

Re,

On va prendre comme exemple la fonction racine: x\mapsto f(x)=\sqrt{x}

On cherche si f est dérivable en a>0 (strictement).

On forme \frac{f(x)-f(a)}{x-a)}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}

c' est le taux de variation de f en a

Lorsqu' on passe à la limite (x\to a), on a systématiquement une indétermination du type \frac{0}{0} qu' il faut lever:

\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a}}{(x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})}=\frac{x-a}{x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}

On peut passer à la limite en a:

Pour a>0:

\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{1}{2\sqrt{a}}

La fonction racine est donc dérivable en a>0 et son nombre dérivé en a est \frac{1}{2\sqrt{a}}

Si a=0:

\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=+\infty

La fonction racine n' est pas dérivable en 0.

On peut reprendre ce qui précède avec \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Cela revient au même.

Posté par cirrusdiamond (invité)re : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 14:03

merci cailloux tu est génial !
mais juste une derniere petite chose :
il est vrai que la fonction : racine de x et simple mais comment ferrais tu la meme chose avec la fonction (sin (x) / ( 1- cos(x)) pour l'etude en 0- et 0+ ? ( j'ai un peu plus de mal avec sin et cos )
aprés je pense que j'aurais tout compris en t'en remercie !

Posté par
cailloux Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 14:18

Re,

Pour ta fonction et sa limie en 0, on peut faire apparaître 2 taux de variation (il y a d' autres méthodes):

f(x)=\frac{sin\,x}{1-cos\,x}=-\frac{sin\,x}{x}\,\,\frac{1}{\frac{cos\,x-1}{x}}

Le premier:

\lim_{x\to 0}\frac{sin\,x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{sin\,x-sin\,0}{x-0}

on sait que la fonction sinus est dérivable en 0 et que son nombre dérivé en 0 vaut cos\,0=1

d' où \lim_{x\to 0}\frac{sin\,x}{x}=1

Le second:

\lim_{x\to 0}\frac{cos\,x-1}{x}\lim_{x\to 0}\frac{cos\,x-cos\,0}{x-0}

on sait que la fonction cosinus est dérivable en 0 et que son nombre dérivé en 0 est -sin\,0=0

Mais là, petite difficulté ce taux de variation est au dénominateur:

il tend vers 0^+ quand x\to 0^-
il tend vers 0^- quand x\to 0^+

Au final, \lim_{x\to 0^-}\frac{sin\,x}{1-cos\,x}=-\infty

et \lim_{x\to 0^+}\frac{sin\,x}{1-cos\,x}=+\infty

Posté par
cailloux Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 14:32

Il y a une solution plus rapide quand on connait ses formules de trigo

\frac{sin\,x}{1-cos\,x}=\frac{2sin \,\frac{x}{2} cos \,\frac{x}{2}}{sin^2\,\frac{x}{2}}=\frac{cos\,\frac{x}{2}}{sin\,\frac{x}{2}}

Et on passe à la limite en 0

Posté par
cailloux Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 14:33

Il manque un 2 au dénominateur de la seconde fraction

Posté par cirrusdiamond (invité)re : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 14:42

trés bien
juste je ne comprend pas pourquoi lim de sinx/x quand x tend vers 0 = à la lim de (sinx-sin0)/(x-0) car f(x) = sinx/x et non juste sinx
et de meme pour (cos(x)-1)/x dont tu compares sa limite en 0 à (cosx-cos0)/(x-0) comme si c'etait juste la limite de cos(x)
tu vois ce que je veux dire ?

Posté par
cailloux Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 14:45

C' est pour pouvoir faire le lien entre \frac{sin\,x}{x} et son taux de variation en 0 donc son nombre dérivé en 0 quand on passe à la limite;

On met ce rapport sous la forme \frac{f(x)-f(a)}{x-a} où f est la fonction sinus et a=0.

Même chose pour \frac{cos\,x-1}{x}

Posté par cirrusdiamond (invité)re : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 15:35

d'accord j'ai compris pourquoi on le met sous la forme  (f(x)-f(a))/(x-a) mais dans ce cas f(x) = sin(x)/x et et non f(x)=sin(x)
donc pour moi et c'est surement une erreur je le mettrais comme ca :
((sin(x)/x)-(sin(a)/a))/(x-a)

Posté par cirrusdiamond (invité)re : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 16:27

snif.. tu vois ce que je veux dire

Posté par
sarriette Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 16:36

bonjour ,

pleure pas cirrusdiamond , je vois ce que tu veux dire mais on n'essaie pas de faire apparaitre le nombre derive de f(x) au point a mais le nombre derive de sinx au point a parce que ça nous arrange...

Posté par cirrusdiamond (invité)re : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 16:40

snif oui , mais euuuh snif , je comprend alors d

Posté par cirrusdiamond (invité)re : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 16:41

mince qu'est je fais ?

Posté par cirrusdiamond (invité)re : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 16:43

je disais donc :
ce que je comprend dans ce que tu me dis que la lim de (sin(x)/x quand x tend vers 0 est la meme que limite de sin(x) quand x tend vers 0 ?
et de meme pour (cos x-1)/x dont la limite en 0 est la meme que cos x ?

Posté par
sarriette Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 16:44

( qu'ai-je fait pas qu'est je fais ... si Bourricot passe par là il va sauter au plafond )

Posté par cirrusdiamond (invité)re : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 16:46

qu'ai je fait d'avoir ecris qu'est je fais

Posté par
sarriette Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 16:50

nope cher ami j'ai pas dit ça...

j'ai dit qu'on utilise au cours du calcul la limite de \frac{sinx}{x} qui est la meme que la la valeur du nombre derivé de sin x en 0 en faisant apparaitre le rapport \frac{sinx-sin0}{x-0}

ce n'est qu'une astuce de calcul..

Posté par
sarriette Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 16:50

(je m'absente un moment ...)

Posté par cirrusdiamond (invité)re : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 16:53

sarriette je t'aime !
merci

Posté par cirrusdiamond (invité)re : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 16:59

juste une derniere petite chose :
comment passe tu de (sin(x)/(1-cos(x)) à -(sin(x)/x)* ((1)/(cos(x)-1)/(x))
(voir quelques dialogues plus haut )

peux tu me le détailler s'il te plait

Posté par
sarriette Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 17:09

eh bien tu divises le numerateur et le denominateur par x et tu ecris le numerateur à cote juste pour que ce soit plus simple à lire.
je te le fais en LaTeX ou tu comprends?

Posté par
cailloux Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 17:09

Coucou,

\frac{A}{B}=-\frac{A}{C}\;\frac{C}{-B}=-\frac{A}{C}\;\frac{1}{\frac{-B}{C}}

Avec A=sin\,x, B=1-cos\,x et C=x.

Posté par
cailloux Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 17:10

Bonjour Sarriette

Posté par
sarriette Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 17:10

voilà , merci cailloux et welcome back !

Posté par cirrusdiamond (invité)re : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 17:19

merci tout les deux !
ca a ete long , mais ca en valait vraiment la peine
MER-CIE

Posté par
sarriette Correcteurre : ptit probléme de dérivation 11-09-07 à 17:22

oh cirrusdiamond ! Merci avec un e c'est encore plus joli e

on dirait que tu as l'accent de chez moi, lol


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