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Pyramide à base triangulaire
Bonjour à tous.
Dans le cadre d'un cours sur les intégrales, le professeur nous a demandé de retrouver la formule pour calculer le volume d'une pyramide à savoir V= (1/3)A*h avec A l'aire de la bas et h sa hauteur.
Pour intégrer h, aucun problème: je considère une distance vertical r infiniment petit que j'intègre de 0 à h. En revanche, c'est pour intégrer A que je ne vois pas comment m'y prendre.
Est-ce que quelqu'un voit l'astuce ?
Merci d'avance.
Bonjour,
Il faut que tu retrouves la surface S(x) de la section de hauteur x, sachant que tu as S(0) = A et S(h) = 0.
Ensuite, tu intègres S(x) entre 0 et h, et ça te donne le V cherché.
Bonjour à vous et merci d'avoir répondu à mon appel.
Il faut absolumment que je comprenne ce type d'exercice car c'est ce qu'on doit être capable de faire sur le chapitre des intégrales.
Pour en revenir à l'exercice:
On peut considérer une pyramide à base triangulaire de sommet S et ABC les trois autres points de la base. On peut aussi définir le point H, intersection du plan(ABC) avec la hauteur issue de S, d'accord avec moi ? Petite précision: la pyramide ne doit pas être bornée-----> pas de "on note b la distance AB" ou des choses de ce genre. Le seul point fixe, c'est le sommet S.
On définit aussi un repère: (Oxyz). je ne sais pas si cette notation du repère vous paraît intuitive parce que vous me parler d'une " section de hauteur x". Je ne sais pas pour vous mais moi l'axe de la côte, j'ai l'habitude de le noter z.
La section S(x)---> Si j'ai bien compris, je dois couper ma pyramide d'une hauteur h avec un plan parallèle au plan (ABC) (la base de la pyramide en fait) et je dois calculer ou plutôt exprimer cette surface. C'est bien ça que vous me demander ?
Oui, c'est ça. Appelle z la hauteur si tu es plus confortable avec.
La section horizontapeut avoir n'importe quelle forme,
Oups...
La section horizontale peut avoir n'importe quelle forme. Imagine par exemple que c'est un cercle, et cherche comment le rayon du cercle varie avec la hauteur. Tu e déduiras la variation de la surface du cercle.
bonjour
que ce soit pour une pyramide ou un cône le principe est le même :
tu as une courbe fermée plane (disons dans le plan (xOy)) délimitant une surface 
d'aire A et un point sommet de l'axe (Oz) disons de coordonnées S(0;0;h) pour fixer les idées.
Le volume est donné par
Où A(z) est l'aire de la coupe de la chose avec le plan de hauteur z : la surface (z)
L'idée pour calculer A(z) et que cette surface (z) est l'image de par l'homothétie de centre S et de rapport (h-z)/h ...
Sachant que les homothéties multiplient les aires par le carré du rapport tu en déduis aisément A(z) ...
à toi de jouer
pardon Le Hibou... je te croyais "pas là"...
je te laisse
(je distingue dans mon propose la surface (ensemble de points) et l'aire (mesure de la surface)... vieux reste Bourbakien ! 
)
Bonjour MatheuxMatou !
En fait, je suis content que tu sois là - d'abord parce que je suis toujours content quand tu es là 
et ensuite parce que je vaisd devoir décrocher vers 17h30, et que ça me rassure que tu prennes la
Bonjour MatheuxMatou
merci beaucoup de ton aide mais l'idée des homothéties est peut-être bonne(je n'en doute pas) mais comme je n'ai pas vu cela cette année avec mon professeur, il va peut-être pas aimé; en fait, il aime pas trop les innovations...
A titre d'exemple, il y a un élève dans ma classe qui a réussi à démontrer cette propriété mais il avait considéré des distances bornées et le professeur lui a gentiment fait remarqué qu'il n'acceptait pas ça et donc du coup il va devoir recommencé... pas chouette !!
Donc ton idée est bonne mais peut-être pas avec mon prof^^ merci tout de même.
Sinon, pour en revenir à l'exercice:
Moi je considère-et je pense que c'est le plus simple-une section parallèle à (ABC) à une hauteur h. La surface qu'on obtient est un triangle. l'aire d'un triangle: A= (b*k)/2 avec k la hauteur de cette surface en forme de triangle et b sa base. Mais bon je ne vois pas trop où vous voulait en venir. Pouvez vous m'éclairer davantage ?
En y réfléchissant un peu plus, on peut remarquer que la difficulté du problème est la même que ce soit avec la méthode de MatheuxMatou ou celle de LeHibou. La difficulté majeur, c'est de numériser la surface qui découle de la section de la pyramide appelé S(x) chez LeHibou ou A(z) chez MatheuxMatou (ça fait des notations à retenir tout ça^^). Ensuite, j'ai juste à appliquer une homothétie chez MatheuxMatou ou une intégrale chez LeHibou.
D'ailleurs LeHibou, tu es sûr qu'il ne faut pas faire une intégrale triple?
Peut-être que tu me proposes de calculer l'aire S(x) à l'aide d'une intégrale double et d'obtenir le V cherché à l'aide d'une troisième intégrale ? c'est bien ça l'idée de ta méthode ?
Sinon Matheux Matou, pour en revenir à ta méthode:
En fait j'obtiens A(z) de cette manière: A(z)= (z) * ((h-z)/h)²
Et ensuite j'intègre A(z) de 0 à h. C'est bien cela ?
La relation que j'ai écrite est-elle juste ? Si oui, comment calculer (z)? Si non, pourrais tu m'écrire la relation s'il te plait ?
Merci d'avance
alpha(z) n'est pas un nombre mais une surface : un ensemble de points
son aire vaut A(z)
A(z) = A*((h-z)/h)²
ah d'accord merci !
Donc du coup, comment je dois faire pour obtenir le A qui représente l'aire de la surface d'un triangle plat si j'ai bien compris ?
Désolé mais je ne vois vraiment pas. Je peux pas appliquer la formule de l'aire d'un triangle parce je n'ai aucune donnée chiffrée. Je ne vois vraiment pas comment m'y prendre. Peut être que pour toi c'est évident mais pas pour moi.
Bonsoir,
si la base de la pyramide, d'aire A, est dans le plan (o, i, j) , sa hauteur [OS] dirige l'axe (Oz), la section par un plan parallèle a la base passant par (0,0,z) a pour aire A
. Il te reste plus qu'à intégrer cela de zéro à OS ce qui donne A*OS/3.
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