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qu est-ce que la réciproque ?
Au lieu de me battre pour essayer d'écrire mes réflexions et de poser des questions sur celles-ci, je vous poste une question-exemple :
Contexte : ABC est un triangle et (C) est un cercle.
Si ABC est rectangle en A, et si [BC] est un diamètre de (C), alors (C) passe par A, B, et C.
Comment écrire cette proposition sous la forme "[Contexte] Si A, alors B", de sorte que son énoncé réciproque soit "[Contexte] Si B, alors A", avec le même "contexte" ? Qu'est-ce que A et qu'est-ce que B ?
Y a-t-il des logiciens (amateurs ou pas) chez qui ma question évoque quelque chose ?
Mouais en fait, j'ai réponse à ma question :
Contexte : ABC est un triangle
Si ABC est rectangle en A, alors le cercle de diamètre [BC] par A.
.... je me rends compte alors que ma question est ailleurs...
Bonsoir,
C'est une question tres imteressante qui fait penser aux "pseudo-reciproque" de college telles que la reciproque du thm de Thales qui est un peu "bidon" a cause de ce que tu appelles le "contexte".
Le plus drole c'est que ce matin meme je viens d'ecrire ces deux proprietes au tableau avec ma 4e.
On pourrait penser a
A : ABC est un triangle rectangle.
B : Le centre du cercle circonscrit a ABC est le milieu du plus grand cote.
Est-ce que ca te va ?
Cela depend aussi d'une chose, si tu veux donner un enonce avec un nom de triangle ou alors un enonce general.
Mon problème en fait est le suivant.
On présente aux élèves de collège les propriétés de géométrie de la forme : données, règle, conclusion, et la règle est alors : Si "données", alors "conclusion".
Mais alors la réciproque de cette propriété ne s'obtient aussi simplement qu'en ne faisant qu'échanger données et conclusion...
Bref... désolé si mon post n'interpelle personne qui aurait quelque chose à en dire...
Je vois que tu as pris garde dans ce que tu m'as proposé à 21:29 que le sens du conséquent (B) ne soit pas déterminé par l'antécédent (A), en disant "plus grand côté" au lieu de "hypoténuse". C'est bien sur ce genre de choses que je me suis déjà longuement questionné.
Justement, dans mes premières réflexions à ce sujet, j'ai eu cette idée de "contexte" avec laquelle je pensais être tranquille...
Mais alors la réciproque de cette propriété ne s'obtient aussi simplement qu'en ne faisant qu'échanger données et conclusion...
Je ne vois pas le souci ici, c'est le propre d'une vraie reciproque.
Ce que l'on ne retrouve pas avec Thales puisque dans la reciproque il faut que les points soient alignes dans le meme ordre.
En tant que logicien, c'est plutot ce genre de "reciproque" qui me pose probleme.
On pourrait tres bien avoir une autre reciproque de Thales, a savoir
Si les droites sont paralleles, si l'egalite des rapports est verifiee et que 3 des points sont alignes alors les 3 autres sont alignes.
ou quelque chose dans le genre
Pour des collégiens, en 4ème, la propriété dont je parlais plus haut doit contenir deux donnés : "ABC est rectangle" et "[BC] est un diamètre", deux "je sais que" comme disent certains. C'est pourquoi c'est embêtant de la formuler ainsi : "Si ABC est rectangle en A, alors le cercle de diamètre [BC] par A", où il ne semble y avoir qu'une seule donnée...
Recemment j'ai trouve un autre truc interessant avec le thm de Pythagore.
Quand les eleves montrent que AC^2 n'est pas egal a AB^2 + BC^2 ils ont l'impression d'avoir demontrer que le triangle n'est pas rectangle alors que ce qu'ils ont en fait montre est que le tgle n'est pas rectangle en B. Cela montre la difference entre :
Dans un triangle rectangle, le carre de l'hypotenuse est egal....
et
Si ABC est rectangle en A alors AC^2 = AB^2 + BC^2.
c'est pour ca qu'on doit passer par le classique :
si ABC est rectangle alors son hypotenuse est forcement AC donc il suffit en fait de comparer AC^2 et AB^2 + BC^2
3 ans passés mais je n'ai pas oublié ce topic.
Ci-joint ce que j'avais noté sur mon idée de "contexte", au cas où ça intéresse quelqu'un.
Cette discussion est très intéressante car effectivement les "réciproques" de 4ème n'en sont souvent pas au sens strict
il y a eu beaucoup de travaux sur la démonstration en collège au niveau des IREM et notamment à l'IREM de Rennes 
plusieurs groupes ont travaillé sur ce niveau
par exemple
" La démonstration au collège - Quelles tâches ? Quels outils ?" paru en 2004
mais tu en trouvera d'autres sur le site
Bonjour apaugam,
N'étant plus dans l'enseignement secondaire ça ne m'intéresse plus. Et si mes souvenirs sont bons je n'avais plus aucun problème en procédant comme j'ai écrit dans mes notes ci-dessus.
Je suis assez d'accord avec tes reflexions sur le sujet
mais c'est toujours interessants de confronter cela avec les observations des profs qui sont sur le terrain en college, de voir ce que peut en retirer un eleve de 4ème ou 3ème selon la manière de présenter les choses (je n'y etais pas non plus)
Ces documents sont aussi utiles dans le superieur pour preparer les futurs prof dans la prepa capes ou à l'iufm (eventuellement aussi pour les futurs profs des ecoles pour les entrainer a un raisonnement sans erreur)
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