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Question méthodologie : résolution d'une équation différentielle
Bonjour à tous,
Je me permets de solliciter votre opinion concernant une question ayant trait à la méthodologie de résolution des équations différentielles.
Après avoir étudié plusieurs cours, la plupart des exos concernant des EDL1 / EDL2 sont bâtis de la même manière à savoir trouver la solution homogène, puis la solution particulière, puis conclure avec la solution générale, en tenant compte de la condition initiale si elle existe.
Je me trouve en face d'un exercice portant sur le système suivant:
2y'(x) - y(x) = x² +1 + e^(-x)
Condition initiale : y(0) = 1.
Les questions sont les suivantes :
1/ résoudre : 2z'(x) - z(x) = 0 --> sur ce point pas de problème : je trouve z(x) = k.e^(1/2x).
En injectant la condition initiale, je trouve k = 1. (avec k appartenant à R). Cette question revient à déterminer l'équation homog_ne associée au système.
2/ déterminer une solution particulière yp1 (x) = ax² + bx + x.
3/ déterminer une autre solution particulière yp2 (x) = k.e^(-x)
4/ Déterminer l'unique solution du système de départ.
Pour le 4), il n'y a pas de souci, on pose que l'on cherche une forme analogue au second membre à savoir quelque chose comme : ax2 + be^(-x) + c, on dérive, on injecte et on identifie les constantes pour trouver la solution particulière.
La solution générale est donc l'équation homogène du 1) (avec condition initiale) + la solution particulière du 4)
*********
L'exercice est très pédagogue mais je n'arrive pas à comprendre comment répondre aux 2) et 3).
Dois-je considérer
- que ax² + bx + x (ou k.e^(-x)) est la forme du second membre auquel cas il faut procéder par identification des constantes?
- partir de ax² + bx + x (ou k.e^(-x)), dériver ces expressions et les injecter dans l'équation : 2z'(x) - z(x) ?
J'ai essayé les deux manières, mais je ne tombe pas sur des résultats satisfaisant l'équation de base.
Je ne pense pas que ce soit le second membre car cela n'aurait pas de sens de laisser une constante du type b ou k qui serait plutôt à rechercher dans le cadre du premier membre...
Bref, votre avis et vos lumières seraient très appréciées.
En vous remerciant par avance.
Bien Cordialement.
Hello,
à mon avis il y a un "méchant" problème dans les questions 2) et 3) car comme tu le pense ce n'est sûrement pas la forme du second membre ( qui d'ailleurs est donné dès le début ) ni une forme possible pour une solution particulière de l'équation de départ.
Bizarre ! Vous avez dit bizarre ?
Une dernière chose : il faut tenir compte des conditions initiales à la fin quand on a trouvé une solutions générale.....non ?
Oui, je me prends la tête dessus depuis deux jours... 
Après je ne sais pas, peut être faut-il prendre
ax²+bx+x et dériver pour obtenir 2ax +b +1
puis injecter dans 2z' - z ce qui donnerait
4ax + 2b +2 - (ax² + bx + x)
= 4ax + 2b +2 - ax² - bx -x = x² (-a) + x (4a - b-1)+ 2b + 2
mais je ne vois pas l'intérêt par rapport au reste...
A mon avis tu peux laisser tomber les questions 2) et 3) qui n'ont aucun sens.....sauf celui de faire comprendre qu'il ne peut pas exister une solution particulière de cette forme et donc qu'il faut choisir :
yp=ax2+bx+c+de-x
Bonjour Mister Jack et merci pour ton aide.
Le professeur nous avait egalement donné l'énoncé en manuscrit, et après vérification, la question 2 prevoit une forme yp1 = ax^2 + bx + c et non ax^2 + bx + x.
Toujours est-il que malgré ce complément, je ne comprends toujours pas l'intérêt des questions 2 et 3.
J'ai posé que la solution générale était de type (solution gen. + yp1) ce qui donne:
(Ke^x/2) + (ax2 + bx + c). Je dérive cette forme puis je résoud l'équation :
2y' - y = x^2 + 1 + e^-x mais même comme ça le résultat n'est pas cohérent .
Je me suis donc résigné a la mème réponse que toi à savoir que les questions 2 et 3 n'ont pas de sens puisqu on recherche un secod membre d'une forme différente de yp1 et yp2
C'est quand même bizarre car le 2 eme exo du devoir comporte les memes queqtions pour une EDL2 ....
Comme tu dis c'est vraiment bizarre.....peut-être faudrait-il poser la question à ton prof pour voir ce qu'il en pense.
bonjour,
je pense avoir compris
si tu as
u solution particulière de 2u'+u=x²+1 (1
v solution particulière de 2v'+v=e-x(2)
(1)+(2)=>2(u'+v')+u+v=x²+1+e-x
donc y=u+v est solution particulière de l'équation donnée
*pour u (ton yp1) je trouve x²-4x+9
*pour v (ton yp2)je trouve -e-x
Bonjour un grand merci.
Effectivement cela découle du principe de superposition des solutions.
En décomposant le second membre du système, chaque "sous-membre" prend la forme de yp1 et de yp2.
au départ je ne comprenais pas ce que tu ne comprenais pas
pour la solution yp1 il faut prenndre ax²+bx+c
pas ax²+bx+x ce doit être une faute de frappe
Merci pour ton aide et le temps que tu as consacré a ma question Veleda.
En fait le professeur a distribué un Poly manuscrit sur lequel yp1 est ax2 + bx + x et un sujet "officiel" du meme devoir sur lequel yp1 est ax2 + bx + x. Vu que c et x sont juste a coté sur le clavier, je pense effectivement que c'est une faute de frappe.
Néanmoins, il semble que pour répondre a la question il suffise d'utiliser le théoreme de sumerpositiondes solutions des EDL pour extraire du second membre la partie qui correspond à la forme de la solution particulière recherchée (dans le cas de yp1, un polynome de degré 2). Puis en sommant yp1 + yp2 (forme expon.) + l'equation homogene associée avec conditions initiales, on résout le système.
Finalement, la solution était simple, mais je manque cruellement d'expérience. Il faut que je travaille dur.
Dans le cas d'une EdL2, je dois dèsormais identifier yp1 = kxe^x à une partie du second membre : (x2 - x - 1) + e^x - xe^2x
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