euh la 1er égalité et la derniere je voulais dire...

Bonjour robby3 ;

C'est presque du cours :

Les antidéplacements du plan affine euclidien sont les réflexions (symétries axiales orthogonales)
et les symétries glissées (produit commutatif d'une réflexion et d'une translation) ,

les symétries glissées sont sans points fixes et comme dans ton énoncé est un antidéplacement conservant une partie (non vide je suppose)
est nécessairement une réflexion et vu que celles-ci sont involutives on a bien ce qui justifie ta dernière égalité.

L'isométrie étant un antidéplacement , pour avoir il faut et il suffit qu'elle soit une réflexion ce qui donnerait
l'axe de la réflexion doit donc passer par le centre de la rotation ce qui n'est pas dit dans ton énoncé _{sauf erreur bien entendu}

d'accord,
Merci Elhor!