Bonjour

D'habitude, on part du fait que est un ensemble "bien ordonné" :

Toute partie non vide de possède un plus petit élément.

On suppose ensuite qu'une propriété P(n) est vraie pour n = 0, et que si P(n) est vrai, P(n + 1) est vrai.

Pour montrer qu'alors P(n) est vrai pour tout n, on raisonne en effet par l'absurde :

Soit A le sous ensemble de constitué des entiers qui ne vérifient pas P.
On veut prouver que A est vide.

Si A n'était pas vide, il aurait un plus petit élément ; notons-le m.
Cet élément m n'est pas égal à 0, car on a supposé que P(0) est vrai.
Donc m - 1 appartient à .
Comme m est le plus petit élément de A, m - 1 n'appartient pas à A, ce qui veut dire que P(m - 1) est vrai.
Mais alors, d'après l'hypothèse de récurrence, P(m) est également vrai, et donc m n'appartient pas à A : contradiction.

L'hypothèse que A n'est pas vide conduisant à une contradiction, on en conclut que A est vide, donc que P(n) est vrai pour tout n.

Cordialement
Frenicle

merci beaucoup  MR.Frenicle   Respect pour toi  :)

(bonjour)

oui, je me permets aussi de m'immiscer pour saluer la clarté de la démonstration de Fenicle

MM

Merci, merci