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Rapport intégrales multiples avec surfaces et volumes
Salut à tous.
Depuis le lycée, j'ai tjs appris qu'une intégrale simple est une aire. J'ai tjs compris ça comme ça car en voyant un graphe simple d'une fonction quelconque f(x), on comprend que le produit f(x).dx ou dx est une valeur infinitésimale de x représente une surface. Cela équivaut à une longueur x largeur dans un rectangle.
Mais aujourd'hui, m'intéressant aux intégrales multiples, je trouve de tout sur le net:
1- certaines pages disent par exemple que l'intégrale double équivaut au calcul d'un volume puisqu'on a une surface infinitésimale dxdy multiplié par une autre valeur f(x,y) (équivaut pour moi à : longueur x largeur x hauteur); ces pages disent qu'alors, l'intégrale triple représente quelquechose "d'immatériel" puisqu'on fait intervenir 4 dimension: dxdydz multiplié par une autre valeur f(x,y,z) engendrant cette 4è dimension.
2- a contrario, il y a des cours qui disent que l'intégrale simple est une longueur, la double une surface et la triple un volume
Alors moi, j'y comprends plus rien ! J'ai besoin de me représenter une image juste dans ma tête, que j'arrive à justifier logiquement ! Mais là du coup, je sais plus quoi est quoi.
Pourriez-vous svp m'expliquer tout ça et me le justifier ?
Merci par avance
Bonjour
Ce sont deux points de vue différents...
L'intégrale simple est un cas particulier d'intégrale curviligne (on intégre en se déplaçant sur une courbe) ici on intégre sur un segment de l'axe Ox.
Quand on a une courbe fermée (comme un cercle) pas trop anguleuse, pas trop moche, elle délimite une surface (le disque dans le cas du cercle). L'aire de cette surface est une intégrale double et il y a une formule (Green-Riemann) qui permet de relier l'intégrale double de l'aire à l'intégrale curviligne sur la courbe qui la délimite.
Alors voici d'où vient ta confusion: Si on prend le graphique d'une fonction, l'aire délimitée par l'axe des x, deux segments verticaux et la courbe (qui est à priori une intégrale double) se trouve être égale à l'intégrale simple de la fonction.
Le même phénomène se reproduit en dimension supérieure... un volume est délimité par une surface...
Mais en toute rigueur, une intégrale simple est une longueur, une intégrale double une surface, une intégrale triple un volume...
ok, quelqu'un pourrait-il me montrer alors comment on passe de cette fameuse intégrale curviligne à l'intégrale simple ?
Merci
Oh, pour ça on n'a même pas besoin de formule...
Soit f continue définie sur [a,b]; on la suppose positive pour ne pas compliquer...
Soit .
L'élémnt d'aire est (petite largeur multipliée par petite longueur). Alors l'aire de K vaut
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