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Rayon de convergence:séries entieres

Posté par
robby3 02-02-09 à 15:19

Bonjour tout le monde,

Comment puis je trouver le rayon de convergence de la série entiere suivante:

5$ \fbox{\Bigsum [cos(\frac{1}{n})]^{n^{\alpha}}z^n}

visiblement le critere de D'Alembert n'est pas trés approprié.

Mon idée était de faire avec Hadamard:

5$ \frac{1}{R}=\bar{\lim_{n\to +\infty}}|a_n|^{1/n}

mais ça me donne 5$ |a_n|^{1/n}=|cos(\frac{1}{n})|^n^{\alpha-1}

peut-etre fallait-il utiliser le fait que le cosinus soit bornée?

pouvez m'éclairer s'il vous plait?

Posté par
Camélia Correcteurre : Rayon de convergence:séries entieres 02-02-09 à 15:26

Bonjour robby

Je crois qu'il y a plus simple... Essaye de trouver la limite de cos(1/n)^{n^\alpha} il faudra discuter sur . Je crois que l'on peut conclure dans presque tous les cas...
De toute façon la méthode d'Hadamard demande la même limite...

Posté par
elaichre : Rayon de convergence:séries entieres 02-02-09 à 15:30

bonjour
calcules la limite , je crois que R = 1

Posté par
robby3re : Rayon de convergence:séries entieres 02-02-09 à 15:33

Bonjour Camélia,
pour \alpha\le 0, ça nous fait 1
pour \alpha>0, ça nous fait +\infty

Posté par
Camélia Correcteurre : Rayon de convergence:séries entieres 02-02-09 à 15:40

Un peu rapide, non?

\ln(\cos(1/n)^{n^\alpha})=n^\alpha\ln(\cos(1/n))=n^\alpha\ln(1+\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}))

donc le truc initial tend vers l'infini pour \alpha > 2, vers 1 si \alpha < 2 et vers \sqrt e pour \alpha=2 (à vérifier soigneusement...)

Posté par
lolo217re : Rayon de convergence:séries entieres 02-02-09 à 15:47

Bonjour,

Avant de se lancer dans les calculs, on peut remarquer que le module du terme général est plus petit que le module de  z  à la puissance  n .
Donc le rayon sera  >=1  dans tous les cas .

Ensuite Camélia trouve des logarithmes positifs de nombre <1 donc calcul à revoir ...

Posté par
Camélia Correcteurre : Rayon de convergence:séries entieres 02-02-09 à 15:49

Bien sur! cos(1+u)=1-u^2/2... mais j'ai bien dit qu'il falait vérifier!

Posté par
robby3re : Rayon de convergence:séries entieres 02-02-09 à 15:50

pourquoi c'est faux si j'écris ça:

exp{n^{\alpha}ln(cos(\frac{1}{n}))}
j'ai bien cos(\frac{1}{n}) qui tend vers 1 non?

pourquoi on calcul la limite?

Posté par
lolo217re : Rayon de convergence:séries entieres 02-02-09 à 15:54

Dans la même veine (histoire d'éviter les calculs) si  l'exposant  a =1 , on remarque que la série est de terme général  (cos(1/n)z)n .
Et pour tout  z réel >0 fixé cela est plus petit qu'une série géométrique convergente.

Conclusion si  a = 1, le rayon est infini .
Maintenant si a>1 la série des modules est plus petite .

Donc le rayon est infini si  a >=1 . reste l'autre cas où les calculs semblent (malheureusement ) nécessaires ?

Posté par
lolo217re : Rayon de convergence:séries entieres 02-02-09 à 15:56

oui d'ailleurs je me suis aussi planté  cos(1/n) tend vers 1 et pasvers  0 .

Posté par
lolo217re : Rayon de convergence:séries entieres 02-02-09 à 15:57

donc ne pas tenir compte de mon message de 15h54

Posté par
robby3re : Rayon de convergence:séries entieres 02-02-09 à 15:59

au final, j'ai rien compris?

quelle méthode emploi t-on?

Posté par
Camélia Correcteurre : Rayon de convergence:séries entieres 02-02-09 à 16:18

la mienne a l'air de marcher, si on fait correctement les développements!

Posté par
robby3re : Rayon de convergence:séries entieres 02-02-09 à 16:26

ok mais ce calcul de limite...dans le but de déterminer le rayon de convergence?

Posté par
Camélia Correcteurre : Rayon de convergence:séries entieres 02-02-09 à 16:27

Après tu compares à des séries géométriques... ou tu appliques Hadamard!

Posté par
robby3re : Rayon de convergence:séries entieres 02-02-09 à 16:28

ok, merci!


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