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réccurence

Posté par revenger (invité) 18-09-04 à 19:47

voila ça fait bientot quelques heures que je "souffre" (lol) avec cet exo de réccurence.essayez de le trouer svp
Voila l'énoncé:
Démontrez que ((n5-n) est un multiple de 30
pour tout n de N

Posté par Plutôt long, mais normalement juste

19-09-04 à 02:34

Salut Revenger ,

Alors icic, on va devoir faire un raisonnement par récurrence. Un raisonnement par récurence, comme tu dois surwement le savoir comporte deux parties : une "initialisation" qui sert à montrer qu'au premier rang, la propriété à démontrer est vérifiée, et une "hérédité à démontrer" afin de montrer que si la propriété est vrai au rang "n", elle l'est aussi au rang "n+1".

C'est parti, mais attention, mon raisonnement par récurrence est très compliqué (surtout sur la fin ). Enfin, t'es prévenu :

Soit la propriété $P_n$ :

$n^5-n$ est un multiple de 30

Ce qui revient à dire que : $\rm~n^5-n~=~30k\quad~pour~k~\in~\mathbb{N}$

Démontrons que que $P_n$ est vérifée pour tou $n~\in~\mathbb{N}$

INITIALISATION
Au rang n=0, on a :

$\rm~0^5-0~=~0$

Or 0=0*30, donc au rang n=0, la propriété $P_0$ est vérifiée.

HÉRÉDITÉ
Montrons que $P_n$ est héréditaire.
Supposons $P_n$ vraie, càd :

$\rm~n^5-n~=~30k\quad~pour~k~\in~\mathbb{N}$

Au rang "n+1" on a :

$\rm~(n+1)^5-(n+1)~=~(n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1)-(n+1)$
$\rm~(n+1)^5-(n+1)~=~n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1-n-1$
$\rm~(n+1)^5-(n+1)~=~n^5-n~+~5n^4+10n^3+10n^2+5n$

Ici, on voit que le selon notre hypothèse de récurrence $n^5-n$ est un multiple de 30. Il nous reste à prouver que $5n^4+10n^3+10n^2+5n$ est aussi un multiple de 30. On a :

$\rm~(n+1)^5-(n+1)~=~n^5-n~+~5(n^4+2n^3+2n^2+n)$
$\rm~(n+1)^5-(n+1)~=~n^5-n~+~5(n(n^3+2n^2+2n+1))$

On remarque que -1 est une racine évidente du polynôme $n^3+2n^2+2n+1$ , on a donc :

$\rm~(n+1)^5-(n+1)~=~n^5-n~+~5(n(n+1)(n^2+n+1))$

Ici, pour que le second terme soit aussi divisible par 30, je vais faire apparaitre le 6 qu'il nous manque (c'est ici que ça devient dur alors accroche toi ) :

$\rm~(n+1)^5-(n+1)~=~n^5-n~+~30(\frac{n(n+1)(n^2+n+1)}{6})$

Ainsi, pour que $(n+1)^5-(n+1)$ soit un multiple de 5, il faut que $n(n+1)(n^2+n+1)$ soit un multiple de 6.
On passe donc en somme à un second problème.

n(n+1)(n²+n+1) MULTIPLE DE 6?
Alors, c'est vraiment ici que ça devient difficile car le raisonnement fait appel à de la logique (mais est tout à fait juste bien que difficile à comprendre ).

Tout d'abord, il faut savoir que 6=2*3 (jusque là ça va non? )

Remarquons le $n(n+1)$ que nous avons. Il est très intéressant, car quel que soit n, un des deux facteurs sera pair, et donc quel que soit n, $n(n+1)(n^2+n+1)$ sera un multiple de 2 (essaie pour différentes valeurs de n pour t'en convaincre).

On a donc déjà notre 2. Il reste à faire apparaitre notre 3 (puisque nous avons vu qu'un multiple de 6, est un nombre qui est à la fois un multiple de 3).
Il faut remarquer une fois de plus que grâce à nôtre $n(n+1)$ , $n(n+1)(n^2+n+1)$ est multiple de 3, pour 2 nombres n entiers sur 3 (puisqu'il y a un nombre multiple de 3 tous les 3 entiers).

0*1=0  multiple de 3
1*2=2  pas multiple de 3
2*3=6  multiple de 3
3*4=12 multiple de 3
4*5=15 pas multiple de 3
5*6=30 multiple de 3 etc...

En fait, $n(n+1)$ n'est pas multiple de 3, SSI n=3k+1, càd qu'il est multiple de 3, seulement pour n=3k ou n=3k+2 pour $k\in\mathbb{Z}$ . Démontrons-le par récurrence, bien que ce soit très facile :

*Initiallisons : pour n=0, 0*1=0, multiple de 3, et pour n=2, 2*3=6, multiple de 3 (on doit faire 2 initiallisations car 2 cas à démontrer).
*Hérédité : Supposons que n(n+1) est un multiple de 3, au rang n+3 (attention ici, c'est pas n+1), on a :
$\rm~(n+3)(n+4)~=~n^2+7n+12$
$\rm~(n+3)(n+4)~=~n^2+n+6(n+2)$
$\rm~(n+3)(n+4)~=~n(n+1)+3(2n+4)$
Selon notre hypothèse de récurrence, n(n+1) est un multiple de 3, et le second terme est factorisable par 3, ce qui veut dire qu'il s'agit d'un multiple de 3.
Je te laisse faire une jolie phrase de conclusion, comme quoi notre propriété est vérifiée .

Il nous faut donc prouver à présent que pour le cas où n=3k+1, c'est $(n^2+n+1)$ qui est divisible par 3. On va également le démontrer par récurence :
*Initiallisons : pour n=1, 1+1+1=3, multiple de 3.
*Hérédité : Supposons que $n^2+n+1$ est un multiple de 3, au rang n+3, on a :
$\rm~(n+3)^2+(n+3)+1~=~n^2+6n+9+n+3+1$
$\rm~(n+3)^2+(n+3)+1~=~n^2+7n+13$
$\rm~(n+3)^2+(n+3)+1~=~n^2+n+1+6n+12$
$\rm~(n+3)^2+(n+3)+1~=~n^2+n+1~+~3(2n+4)$
Selon notre hypothèse de récurrence, $n^2+n+1$ est un multiple de 3, et le second terme est factorisable par 3, ce qui veut dire qu'il s'agit d'un multiple de 3.
Je te laisse faire à nouveau une jolie phrase de conclusion, comme quoi notre propriété est vérifiée .

RETOUR AU PROBLÈME PRINCIPAL

Ainsi, nous venons de prouver $n(n+1)(n^2+n+1)$ est un multiple de 6. Donc en posant :
$k'=\frac{n(n+1)(n^2+n+1)}{6}$

On a bien :
$\rm~(n+1)^5-(n+1)~=~n^5-n~+~30k'$

Or par hypothèse, $n^5-n=30k$ et donc :

$\rm~(n+1)^5-(n+1)~=~30k''$ avec $k''=k+k'$
ce qui traduit que $P_{n+1}$ est vraie

CONCLUSION : la popriété $P_n$ est vraie à partir de n=0 et est héréditaire à partir de n=0, donc pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $n^5-n$ est un multiple de 30.

Voilà . Ça n'a peut être rien à voir, mais je me suis impressioné moi même en arrivant à bout de cet exo . J'y réfléchit quand même depuis 20h lol (avec quelques pauses entre temps pour la télé quand même ).

Si je n'ai pas été assez clair sur un point, n'hésite pas à me le dire et à poser des questions.

À +

Posté par re : réccurence 19-09-04 à 15:49

Re-Salut,

Au fait, pour la fin de mon raisonnement, tu peux aussi bien démontrer directement que n(n+1) est multiple de 6 pour n=3k et n=3k+2 et que (n²+n+1) est multiple de 6 pour n=3k+1, sans devoir d'abord extraire le 2, puis le 3 comme je l'ai fait.

C'est plus rapide .

Voilà, à +

PS : En fait ce message sert plus à remettre ce topic parmis les premiers qu'autre chose . Ça me dégouterait pas mal si après tout le mal que j'ai eu pour faire cet exo (pauvre de moi ), son posteur ne voyait pas la réponse à sa question .

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