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recherche d'une fonction

Posté par milie37 (invité) 05-10-07 à 18:16

je n'arrive pas à résoudre cet exercice donc j'aimerais qu'on m'explique un peu
on se propose de démontrer qu'il existe une seule fonction f dérivable sur \mathbb{R}\ vérifiant la condition :
3$(c) =\{{f(-x)f'(x)=1 \atop f(0)=-4}}

1. on suppose qu'il existe une fonction f satisfaisant la condition c et on considère alors la fonction g définie sur \mathbb{R}\ par g(x) = f(-x)f(x)
a) démontrer que la fonction f ne s'annule pas sur \mathbb{R}\
b) calculer la fonction dérivée de la fonction g
c) en déduire que la fonction g est constante et déterminer sa valeur
d) montrer que la fonction f vérifie :
f'=\frac{1}{16}f et f(0) = -4
2. démontrer qu'il existe une seule solution dérivable sur \mathbb{R}\ satisfaisant la condition (c) et préciser quelle est cette fonction.

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 18:18

besoin d'aide svp

Posté par
cailloux Correcteurre : recherche d'une fonction 05-10-07 à 18:19

Bonjour,

1a)Pour démontrer que f ne s' annulle pas, on raisonne par l' absurde en supposant qu' elle s' annulle en x_0 par exemple.

On essaie ensuite d' arriver sur une impossibilité...

Posté par drioui (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 18:21

salut
a) démontrer que la fonction f ne s'annule pas sur
suppose que f(x)=0

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 18:37

ok merci pour b j'ai trouvé la dérivée :
g'(x)=f'(-x)f(x)+f'(x)f(-x)

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 18:39

mais la c j'ai pas compri

Posté par drioui (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 18:41

) en déduire que la fonction g est constante et déterminer sa valeur
la fonction g est constante si sa derivee est nulle

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 18:41

et pour la a j'ai pas tout compri à vrai dire on peut me rééxpliquer

Posté par drioui (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 18:46

a) démontrer que la fonction f ne s'annule pas sur
on suppose que f(x)=0
on sait que f'(-x)f(x)=1 si  f(x)=0
donc 0=1 contradiction d'ou f(x)0

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 18:50

d'accord

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 18:52

et pour la d comment on fait

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 19:26

svp

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 19:42

svp je ne sais pas du tout comment faire
besoin d'aide

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 19:51

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 20:01

besoins svp

Posté par
cailloux Correcteurre : recherche d'une fonction 05-10-07 à 20:04

b)c) g'(x)=-f'(-x)f(x)+f(-x)f'(x)

or f'(-x)=\frac{1}{f(x)} et f'(x)=\frac{1}{f(-x)}

d' où g'(x)=-1+1=0 et g est constante avec g(0)=f^2(0)=16

ainsi, f(x)f(-x)=16

d) f'(x)=\frac{1}{f(-x)}=\frac{1}{16}f(x) d' après la ligne précédente.

et f(0)=-4

2) Le cours nous dit que la fonction solution de f'=\frac{1}{16}f est de la forme:

f(x)=ke^{\frac{x}{16}} où k est une constante arbitraire.

la condition f(0)=-4 impose k=-4

finalement il existe une unique fonction solution: f(x)=-4e^{\frac{x}{16}}

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 20:48

d' où g'(x)=-1+1 =0  j'ai pas compri le +1

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 20:50

le -1* je veux dire

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 20:51

et j'ai pas compris g(0) = f^2(0)

Posté par
cailloux Correcteurre : recherche d'une fonction 05-10-07 à 20:54

On calcule -f'(-x).f(x)

L' énoncé nous dit: f(-x).f'(x)=1:

on peut changer x en -x dans cette dernière équation et on obtient:

f(x).f'(-x)=1 donc -f'(x).f(x)=-1

Posté par
cailloux Correcteurre : recherche d'une fonction 05-10-07 à 20:56

g(x)=f(-x).f(x)

Pour x=0, on obtient: g(0)=f^2(0)=16

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 21:00

et pourquoi f(-x)f(x) =16 ??

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 21:00

a oui car elle est constante c'est ca?

Posté par
cailloux Correcteurre : recherche d'une fonction 05-10-07 à 21:07

Citation :
a oui car elle est constante c'est ca?


Parce que g est constante, oui

Posté par milie37 (invité)re : recherche d'une fonction 05-10-07 à 21:12

la question d) c'est montrer que f(0)=-4 tu ne l'as pas montrer et l'énoncé montre juste le but de l'exercice donc je ne suis pas sure qu'il faut reprendre l'énoncé

Posté par
cailloux Correcteurre : recherche d'une fonction 05-10-07 à 23:37

Il s' agit de la fonction f vérifiant la condition (c) du début de l' énoncé, entre autres, f(0)=-4 qu' il suffit de reprendre.

La vraie "nouveauté" dans cette question d) est que f est solution de l' équation différentielle: f'=\frac{1}{16}f


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