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Recherche exercices compliqués niveau collège
Bonsoir,
Je suis à la recherche d'exercices assez "tordus" mais pas trop quand même pour des collègiens que j'ai en "aide au devoirs" depuis cette semaine et qui pensent que tout est trop simple pour eux... Si quelqu'un a des documents à me proposer, j'en serais enchanté! En attendant de mes propres exos sur lîle, et de leurs donner si il marchent bien, parce que, là, ils sont en phase de test et je ne veux pas me rater!
Mes collègiens sont en 6eme, 4eme, 3eme.
Merci de vos conseils!
Bonjour
Des exos de geometrie euclidienne un peu compliquée ca doit se trouver....
Par exemple demande leur de demontrer le thoérème de pythagore...DE trouver la formule donnant l'aire d'un triangle ne connaissant que ces cotés...sans question intermedaires (ou alors une ou deux pas plus)...S'ils sont bons ca me semble faisable en 4ème...
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Edit jamo : puisque ce site ne te plait pas, alors tu ne pourras plus revenir. Mais bizzarement, tu dois quand même l'apprécier, puisque tu y reviens avec plusieurs comptes diférents..
rodrigo : comment tu démontres Pythagore ???Ah ben c'est pas compliqué....enfin la difficulté est toujours dans ce que tu suppose connu.
Tu prends un carré de coté de longueur a+b. Disons ABCD, et sur chaque coté tu donne un point qui separe le coté du carré en deux segments de longueur a et b. Tu a donc deux carrés ABCD, et EFGH avec AE=BF=CG=DH=a et EB=FC=GD=HA=b (bon ca a l'air compliqué parce que je sais pas faire des dessins mais c'est tres simple). Tu appelle c le coté du carré interieur c est la longueur de l'hypothenuse du triangle rectangle de coté a et b
Ensuit tu ecris l'aire de ABCD de deux facons diffrentes (comme (a+b)² et comme c²+4ab/2) et tu trouve a²+b²=c².
Thales est plus rock and roll
Je suis allé chercher une illustration sur le net et je me suis rendu compte que la rpeuve est sur wikipedia.
Recherche exercices compliqués niveau collège
Hello
Thales est plus rock and roll
Euclide en a donné une belle démonstration, en utilisant les aires
bonjour Rodrigo
la démonstration du théorème de Pythagore que tu évoques a le défaut de ne pas être purement géométrique; elle se sert de l'égalité (a+b)² = a²+2ab+b²
le théorème de Thalès se démontre à partir d'un cas particulier : si des parallèles déterminent des segments égaux sur une sécante, elles déterminent des segments homologues égaux sur toute autre sécante
quelques propriétés géométriques dont les élèves gagneraient à voir les démonstrations :
tout côté d'un triangle est inférieur à la somme des deux autres
tout point de la médiatrice d'un segment est à égale distance des extrémités de ses segments
la somme des angles d'un triangle égale deux droits
deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles entre elles
égalités des angles et des côtés du parallélogramme et réciproque
les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux et réciproque
droite des milieux et réciproque
points de councours des médianes, médiatrices, hauteurs et bissectrices d'un triangle (et position du centre de gravité)
le milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est à égale distance des trois sommets
la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon qui aboutit au point de contact
les arcs inscrits interceptant un arc sont égaux, à la moitié de l'angle au centre interceptant le même arc
un angle inscrit interceptant un diamètre est droit
je m'étonne aussi qu'on ne se seve jamais ici du théorème de la bissectrice : la bissectrice d'un triangle partage le côté en deux segments proportionnels aux côtés adjacents
la démonstration du théorème de Pythagore que tu évoques a le défaut de ne pas être purement géométrique
Tu trouves que c'est un defaut?
Personnellement les démonstration de la géométrie élémentaire euclidienne m'ont toujours l'air un peu foireuses car beaucoup trop basé sur ce que l'on voit, et surtout sur une axiomatique pas tres claire (il me semble qu'Hilbert a mit de l'ordre dans tout ça mais je n'y ai jamais jeté un coup d'oeil)... Je dois dire que c'est la démo de pythagore qui a moi me convainc le plus (bon a part la vrai demo dans un espace hermitien). D'ailleurs essayez de démontrer en utilisant l'aximoatique euclidienne qu'une droite passant par un point interieur à un triangle (d'aileurs interieur a un triangle...quelqu'un a une définition propre et simple de ceci?) coupe nécessairement le triangle (j'ai entendu dire que ce n'etait pas possible)
Bonsoir Rodrigo.
L'utilisation de l'algèbre et de l'analyse dans la géométrie et dans les problèmes d'arithmétique me font un peu l'effet de force brute (voire de grosse artillerie), mais ce n'est que mon avis.
L'analyse a aussi ses limites : comment notamment calculer facielement les éléments et coordonnées dans une courbe (ellipse, parabole, ...) qu'on fait pivoter, alors que les figures de la géométrie classique s'étudient dans un plan ou un espace homogène, sans références priviligiées.
J'ai imaginé une sorte de géométrie des nombres :
tout point y est représenté par un nombre
une droite est un ensemble de nombres tels que les différences de deux quelconques d'entre eux soient toujours commensurables entre elles (le rapport de deux différences est toujours rationnel)
un plan est un ensemble de nombres déterminé par trois nombres non en ligne droite; il est composé de :
la droite qui contient deux de ces nombres
les droites qui joignent le troisième nombres à chacun des nombres de la droite des deux premiers nombres
la droite parallèle 'proprement dite' à la première; elle contient les nombres de la première droite augmentés de la différence (troisième nombre moins premiers nombres).
On pourrait étendre cette hiérarchie à un espace de trois dimensions, puis quatre dimensions, le nombre de dimensions étant illimité.
Théorèmes délicats à démontrer :
deux plans coincident si l'un est défini à partir de trois points quelconques non en ligne droite de l'autre (principe d'homogénéité)
dans un plan, un point hors d'une droite est contenu dans une seule et une seule parallèle à cette droite.
Un point serait à l'intérieur d'un triangle s'il est compris dans les segments joignant chaque sommet à la droite des deux autres sommets.
Ce système est cependant incapable de représenter les angles; de plus, la 'distance géométrique' entre deux nombres n'aurait probablement rien à voir avec leur différence arithmétique.
zskiredj : il existe des centaines de démonstrations du théorème de Pythagore.
Rodrigo : et la grosse majorité de ces démonstrations sont géométriques. Mieux vaut éviter de trop passer par l'analyse pour démontrer un "simple" théorème comme celui-là ! 
Bonjour a tous les deux,
L'utilisation de l'algèbre et de l'analyse dans la géométrie et dans les problèmes d'arithmétique me font un peu l'effet de force brute (voire de grosse artillerie), mais ce n'est que mon avis
Alors là je comprends pas, des qu'on veut faire qqch un peu serieux en geometrie et encore plus en arithmetique, il faut de beaucoup d'algèbre et pas mal d'analyse.
Apres ca depend a quel niveau on parle, si c'est au niveau collège, bon ben on fait un peu de geoletrie elementaire et pas d'arithmétique. Bien sur je ne pense aps que l'enseignement doive devenir bourbakiste. Mais je trouve cette vision "ponctuelle" de la geometrie est tres mauvaise, meme si c'est assez formateur.
Tu dis un point est représenté par un nombre....Pourquoi ne pas dire tout simplement un point est un nombre. Un point du plan est un couple de nombre! Point barre...ca n'enleverait rien a la geometrie au contraire et ca permettrait de faire des trucs un peu propres.
Quant a ton axiomatique de la géométrie élémentaire... Elle est tres tres bizarre. En plus pas la peine d'en rajouter la notion d'esp vectoriel est parfaite. Je ne dis aos qu'il faudrait l'introduire au collège, je dis juste que retrospectivement la geometrie du collège est plutot floue et pas rigoureuse.
Tout ça pour dire que je trouve que "ma" démo est meilleure qu'un démo purement géométrique a base de "on fait glisser" "on voit bien" "y a un axe de symetrie"
Euh... Quand on parle de démonstration, on parle de vraie démonstration.
Les "on fait glisser", "on voit bien", ce n'est pas de la démonstration.
Même en 4ème, on peut faire de très jolies démonstrations du théorème de Pythagore, toutes en géométrie pure !
La géométrie du collège ne serait pas rigoureuse ? Je ne sais pas à quel niveau tu enseignes, mais personnellement je m'évertue à être le plus rigoureux possible et à ce que mes élèves le soient également.
Revois un peu l'histoire du théorème de Pythagore avant de parler de "ta" démonstration soi-disant "meilleure".
Ah ben, il m'a énervé le gars...
Je ne voulais pas t'énerver loin de moi l'idée...
Bon déjà une première chose, quand je parlais de "ma" demonstration il est bien clair que je ne m'en attribuais pas du tout la paternité d'où les guillemets, je voulais simplement dire celle que j'ai mentionné (et que de toute façon je n'ai pas inventé).
Ensuite je maintiens que la géométrie euclidienne telle qu'elle est faite au collège et telle d'ailleurs que la faisait les grecs est loin d'etre parfaite et notemment au niveau de la rigueur...Mais ceci n'est pas vrai que de la géométrie grèque les maths de Cauchy ou de Gauss eux non plus n'auraient pas vraiment passé les canons de la rigueur d'aujourd'hui, et les maths ont beaucoup (et continue) evolué,
Il est bien clair que beaucoup de démos de ces matheux nous apparaissent aujourd'hui bancale ou incomplete, mais ce que l'on salue c'est le fait qu'ils ont accompli de grands travaux et ont donné des preuves jugés plus ou moins convaincantes.
D'ailleurs voici du Gauss dans le texte a propos de ca demonstration du théorème fondamental de l'algèbre
On sait de la géométrie supérieure qu'un courbe algébrique ou au moins une branche de la courbe, ou bien repasse sur elle meme ou bien s'etend à l'infini; ainsi si une branche de courbe algébrique rentre dans un espace défini, elle doit necessairement en sortir
Je ne sais pas ce que tu en pense, mais moi si je lisais ça dans un bouquin d'aujour'dhui je ne serai que moyennenement convaincu.
De même pour la géométrie du collège, ou nous somme incapables de prouver rigoureusement un bon nombre de choses et meme de donner des definitions satisfaisantes (qu'est ce qu'un point, un angle droit?)
Ces définitions étant absentes et l'axiomatique non satisfaisante (cf ce que j'ai dit sur un point interieur a un triangle), mais bon c'est le lot de toutes les axiomatiques bien sur... Ce que l'on fait ensuite, oui, je ne le trouve pas tres rigoureux. C'est pour ça que je m'aintiens que ma preuve n'est pas non plus completement convaincantes... Mais elle me parait moins mauvaise.
Cela dit peut etre connais tu un démo merveilleuse et purement géométrique de ce resultat, dans ce cas je serai heureeux de la connaitre.
Quant au niveau où j'enseigne, hé bien, je me destine en fait a la recherche, et je n'ai une vision que tres fragmentaire de l'enseignement (je fait un peu de tutorat à l'X et donne quelques colles en prepa), et je dois dire que je serai bien dérouté pour enseigner a des enfants niveau collège, car j'ai du mal a dissimuler le mal à l'aise que j'éprouve vis a vis de cette "géométrie grèque", mais je pense quand meme que c'est le plus formateur.
Désolé de la longueur de ce post...
Hello
Evidemment si on remet en cause l'axiomatique d'Euclide on ne peut pas demontrer grand chose en geometire grecque. Sinon une demo de Pythagore par les aires des triangles et des parallelogramnmes est tout a fait simple et correcte. Ce que tu appelles "faire glisser" c'est surement une animation vue sur internet qui se veut tres visuelle mais cela illustre simplement le fait que 2 triangles de meme base et dont la hauteur a la meme longueur ont la meme aire. Rien de magique dans tout ça.
Le truc du triangle que tu evoques est je crois equivalent au 5e postulat. Pas etonnant qú'on ne puisse le demontrer.
Quant à l'arithmétique elle n'est pas complète non plus quels que soient ses axiomes...
Remettre Gauss en question me semble un peu gonflé quand meme...
Je remet pas du tout l'axiomatique d'euclide en cause, ce que je dis c'est que la geomtrie euclidienne du plan est tres visuelle et un peu floue. Ca n'a rien a voir avec une quelconque completude. On y parle de chose rarement définies, et on fait souvent recours a des faits "géométriquement evidents"
D'ailleurs pour en revenir a l'histoire du point intérieur a un triangle, bien sur avec les 5 axiomes d'Euclide...j'aimerai bien voir un demo de ce truc (à compter qu'elle existe, je pense qu'il faut rajouter deux trois trucs)... et je doute qu'un prof de collège ait deja démontrer qu'a partir des axiomes on pouvait montrer que n'importe quelle droite passant par un point intérieur au triangle (à compter la aussi qu'on ait défini intérieur du triangle, quiconque s'est un jour frotté au lemme de jordan sait que ce n'est pas évident) coupe le triangle. Par contre on l'utilise tout le temps.
Je ne dis pas que c'est mal, c'est pedagogique...mais mathematiquement douteux.
Je pense que la géométrie telle qu'on l'entend ici, doit servir comme intuition et illustration des faits mathématiques, qui eux sont algébrique (au sens le plus general).
Regardepour la notion d'aire, par exemple. On ne la definit pas, pourtant elle jouit de tous plein de propriétés (invariance par les isometries, bien sur c'est non demontré, mais bon l'aire on sait ce que c'est...hemm... donc on voit bien que c'est invariant par isometrie, d'ailleurs une isometrie c'est quoi...) et on en calcule plein, en faisant appel aux propriétés qui nous semblent "réelles" de ce qu'on imagine de la notion de surface.
Il me semble plus honnète intellectuellement de dire, bon a chaque triangle on associe un "invariant numérique", que l'on appelle aire et qui vaut base.hauteur/2 (avec les def prealables). Ensuite on peut si l'on veut faire un laïus sur le fait que cette notion vient de l'intuition que nous avons des surfaces, et que si l'on decoupe en petit carré etc etc...Mais c'est une illustration, une aide visuelle si vous preferez.
Par ailleurs je n'ai nullement remis en question le génie de Gauss, ni d'Euclide d'ailleurs (tres supérieurs au mien). Je m'en servais juste d'exemple pour dire que l'historicité ne fait pas loi en mathématique.
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