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Réciproque résolution eq ax+by=c par congruence
Bonjour
J'ai un exercice à faire, la première partie conciste à trouver une valeur de x/y pour l'équation : 3x-5y=2.
Pour cela on utilise les congruences (l'exo est bien guidé au début) : 3x 2 [5]
On étudie les reste de x, de 3x, on en déduit x et y : x=4, y=5.
Ensuite la seconde partie, je cite :
"Nous avons vu, que si x et y existent, alors ils prennent les valeurs trouvées précédemment.
Mais, réciproquement, ces valeurs de x et y conviennent-els ? Logiquement, rien ne l'assure, vous devez le vérifier.
( voir la partie Types de partie 'Types de pbm et raisonnement' ds le boukin 'Obligatoire' )"
Le léger problème c'est que je n'ai pas la même édition pour le manuel de math général, donc j'avoue que je ne vois pas du tout comment faire cette réciproque.
Merci de bien vouloir m'aider 
( si sa peut vous être utile : TransMath programme 2002 TermS Spé, ed Nathan )
x=4 et y=5, comme tu l'écris, ne sont pas solutions car 3*4-5*5 ne vaut pas 2
ou alors ce n'est pas l'équation 3x-5y=2.
Avec cette dernière,tu aurais du trouver que les solutions POSSIBLES sont du type
x=5k+4 et y=3k+2 avec k entier
Il reste à vérifier en faisant :
3x-5y = 3(5k+4)-5(3k+2)
soit 3x-5y = 15k+12-15k-10
3x-5y =2
les solutions possibles sont bien solutions
ce sont TOUTES les solutions
bonsoir,
sens direct:
soit x0=4 et y0=2 2 solutions "évidentes" de l'équation 3x-5y=2
réciproque:
alors 3x-5y=3x0-5y0 donc 3(x-x0)=5(y-y0)
d'après le th de GAUSS 5 divise x-x0 et 3 divise y-y0
donc il existe 2 entiers k1 et k2 tels que x-x0=5k1 et y-y0=3k2
donc x=x0+5k1 et y=y0+3k2 donc x=4+5k1 et y=2+3k2
alors 3(4+5k1)-5(2+3k2)=2 donc 15k1-15k2=0 donc k1=k2=k
Ainsi, les solutions générales de l'équation Diophantienne 3x-5y=2 sont :
x=4+5k et y=2+3k où k
@+
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