Niveau terminale

recurence

Posté par f-mindy (invité) 24-10-06 à 18:20

bonjour est ce que vous pourriez m'aidez a démontrer par recurence que :

que pour tout n entier naturel 3^(2n+1)+ 2^(n+2) est multiple de 7

et que 9 divise 10^n +1

merci d'avance

édit Océane : niveau renseigné

Posté par re : recurence 24-10-06 à 18:46

Bonjour,

Soit Pn, la proposition, $3$10^n+1$ est multiple de 7

Alors, il existe un entier relatif k, tel que $3$10^n+1=9k$

Hérédité :

On admet Pn, vraie

Démontrons que $3$P_{n+1}$ est vraie

$3$P_{n+1}=10^{n+1}+1$

$3$10^n+1=9k$ <---> $3$10^n=9k-1$

$3$P_{n+1}=10^{n+1}+1$
$3$P_{n+1}=10^n\times 10+1$
$3$P_{n+1}=10(9k-10)+1$
$3$P_{n+1}=90k-99$
$3$P_{n+1}=9(10k-11)$

Donc $3$P_{n+1}$

Maintenant, est ce vraiment vraie ?

Skops

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