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Récurrence

Posté par
masterrr 06-09-08 à 10:14

Montrons par récurrence :

3$\forall n \in \mathbb{N}\{3}, P(n) : "3$n^2 \le 2^n".

* Initialisation : pour n=0

3$n^2=0^2=0 \\ 2^n=2^0=1

3$n^2=0 \le 1=2^n

P(0) est vérifiée.

* Hypothèse de récurrence : on suppose 3$\forall n \in \mathbb{N}\{3}, P(n) : "3$n^2 \le 2^n".

* Hérédité : a-t-on 3$\forall n \in \mathbb{N}\{3}, P(n+1) : "3$(n+1)^2 \le 2^(n+1)" ?

On a supposé :

3$n^2 \le 2^n \\ \Leftrightarrow 2n^2 \le 2^(n+1)

Pour continuer, je pense qu'il faudrait montrer que :

3$2n^2 \le (n+1)^2 \\ \Leftrightarrow n^2-2n-1 \le 0.

Sauf que c'est faux...

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
masterrrre : Récurrence 06-09-08 à 10:15

Erreur de latex, après "on a supposé" la deuxième ligne est en réalité : [tex]3$ 2n^2 \le 2^{n+1}[\tex]

Posté par
masterrrre : Récurrence 06-09-08 à 10:15

Décidément... 3$ 2n^2 \le 2^{n+1}

Posté par
jeansebre : Récurrence 06-09-08 à 10:39

Bonjour

La formule n'est toujours vraie qu'à partir de 4: elle n'est pas vraie pour n=3

3$\rm (n+1)^2 \leq 2^{n+1}\Longleftrightarrow n^2+2n+1 \leq 2^{n+1}= 2^n.2 = 2^n+2^n \\ \\ Or, par heredite, on a n^2 \leq 2^n \\ \\ Il suffit de prouver que 2n+1 \leq 2^n pour n\ge 4 \\ \\ personnellement, j'etudierais la fonction f(x)= 2^x - (2x+1) sur [4;+\infty[:\\ la derivee y est positive, et comme f(4) est positif, la fonction est toujours positive, donc l'inegalite est vraie pour tout n \ge 4. Mais il doit y avoir plus simple...

Posté par
masterrrre : Récurrence 06-09-08 à 16:47

Merci jeanseb .

Mais personne n'aurai une autre méthode ?

Parce que si je dois étudier la fonction pour faire ma récurrence, autant étudier dès le départ f(x)=x²-2x et montrer qu'elle est positive pour x supérieur à 4 (ce qui marche si on va jusqu'à la dérivée seconde).

Quelqu'un voit-il comment démontrer cette propriété par récurrence sans étude de fonction ?

Merci d'avance !

Posté par
jeansebre : Récurrence 06-09-08 à 17:05

Citation :
3$\rm%20Il%20suffit%20de%20prouver%20que%202n+1%20\leq%202^n%20pour%20n\ge%204%20\\%20%20


Ca peut aussi se faire par récurrence: à gauche on ajoute 2 pour passe à l'ordre supérieur, et à droite on ajoute 2n

Donc tiu commence par cette démonstration ^par récurrence, et ensuite tu fais l'autre.

Ce qui m'ennuie, c'est qu' on ne tombe pas sur la condition n > 3...


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