Bonjour

f(0)0 entraine f(0)=0.

Supposons que f(k)=k pour 0kn. Ce n'est pas très difficile de montrer que ceci entraine f(n+1)=(n+1).

Merci!

Mais on n'utilise pas le fait que f est injective ? Cela changerais quelque chose si f était surjective?

Merci d'avance.

Si, si, on utilise le fait que f est injective. De f(n+1) n+1, on tire seulement que 0 f(n+1)n+1. Mais les places 0,1,...,n sont déjà occupées donc il ne reste que f(n+1)=n+1.

La fonction f(0)=f(1)=0 et f(n)=n-1 pour n2, est surjective vérifie l'hypothèse f(k)k pour tout k mais n'est pas égale à l'identit.

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de répondre à ma question!
Cela me rassure car je comprends en plus!

Bonne soirée et encore merci!

Alors j'ai essayé de démontrer par récurrence de la même manière que f surjective et pour tout n, f(n)> ou égal à n implique f=Id N et je bloque :

A l'initialisation, pour n=0, on a f(o)> ou égal à 0 mais je n'arrive pas à montrer que cela implique f(0)=0 ... J'ai pensé à la surjectivité mais ça ne donne rien!

Pour la récurrence en elle-même, f(n+1)=n+1 en disant que les places sont toutes occupées?

Merci d'avance!

Si tu avais f(0) > 0, tu aurais f(n) n > 0 pour tout n, donc 0 ne serait pas dans l'image et f ne serait pas surjective!

A oui!
Ensuite je suppose que la proposition est vraie pour n et on montre qu'elle est vraie pour n+1
Donc il faut montrer que f surjective et pour tout n, f(n+1)> ou égal à n+1
Et on utilise la surjectivité c'est à dire:
si f(n+1)>n+1>n, n ne serait pas dans l'image donc f(n+1)=f(n) ?

Merci d'avance !

Tu as un décalage...

On suppose que f(k)=k pour k n. Comme f est surjective, il existe m tel que f(m)=n+1. L'hypothèse de récurrence dit que m n+1. Mais si on avait m>n+1, on aurait f(m)m > n+1 ce qui est une contradiction. Donc m=n+1.