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récurrence et matrice
bonjours à tous, j'ai un dm qui me pose problème. Voici les questions où je suis bloqué:
a=0; b=0 et pour tout n de N:
(S){an+1=8an+bn}
{bn+1=2an+9bn}
a)Démontrer que l'on peut écrire (S) sous la forme
matrice an+1 = A* matrice an , où A est une matrice que l'on précisera.
..........bn+1................bn
b)Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n non nul:
matrice an =An * matrice a0
..........bn.................b0
c)
On pose P=matrice 1 1
......................-1 2
Démontrer que P-1=(1/3)*matrice 2 -1
........................................1 1
d)
Soit b=matrice 8 1
..................2 9
7n 0
Démontrer que, pour tout n de N, Bn=P*matrice 7n 0 *P-1
.........................................................0 10n
e)
En deduire an et bn en fonction de n.
Merci d'avance pour votre aide.
bonsoir
a)
A=(8 1)
(2 9)
donc si Un(an;bn) on a U(n+1)=AUn où Un et Vn sont deux vecteurs
b) trivial
A°=Id par définition donc U0=A°U0 vraie
suppose U(n)=A^nU0
alors U(n+1)=AUn
=A(A^n)U0)
=A^(n+1)U0 vraie
donc
qq soit n Un=A^nU0
c) P matrice de passage
P=(1 1)
(-1 2)
detP=3 donc P est inversible et
P^-1=(1/3)(2 -1)
(1 1)
Merci pour les réponses à la question 1 et 2.
Mais à la question 3, n'existe il pas une manière de calculer la matrice inverse(hormis la calculatrice car celle ci n'est pas autorisé dans le dm)
Et ensuite si quelqu un connait les réponses aux questions 4 et 5, son aide sera la bien venue. 
Bonjour,
en attendant que watik soit de retour :
pour le c) il suffit de montrer que P*P-1=I, I étant la matrice identité d'ordre 2
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