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recurrence et suite fof

Posté par choupinette2007 (invité) 18-09-07 à 18:30

Bonjour tout le monde

je suis nouvelle et je sais pas trop comment marche le site...
voila j ai petit probleme avec la recurrence je n'y comprend rien!!
j'ai un petit exercice pour demain... j'ai fait la premiere question mais ensuite je bloque completement

Soit f : f(x)= (x²+1)

1) Determiner les fonctions f2=fof, f3=fofof, f4=fofofof

j'ai trouver f2=(x²+2), f3=(x²+3), f4=(x²+4)
jusque la tout va bien on peut remarquer que a chaque fois on a 1 en plus

2) on pose f1=f, soit n*, conjectuere l'expression de fn(x) où fn=fofo....of (n fois)

et la j'ai mis comme f=f1
f2=fof1, f3=fof2, f4=fof3
mais après je sais pas comment faire

3)Demonter votre conjecture a l'aide d'un raisonnement par recurrence
et la je suis perdu je sais pas puisque je n'arrive pas a faire la deux...

Merci de votre aide en tout cas
ce site a l aire vachement bien

Posté par
cailloux Correcteurre : recurrence et suite fof 18-09-07 à 18:44

Bonjour,

Citation :
j'ai trouver f2=(x²+2), f3=(x²+3), f4=(x²+4)


...et la conjecture: f_n=\sqrt{x^2+n} à démontrer par récurrence...

Posté par choupinette2007 (invité)re : recurrence et suite fof 18-09-07 à 19:16

je pense que ca commence au rang 1 ou 2
f=v(x²+1)
f2=fof=V(v(x²+1)+1)=V(x²+2)
donc f(1) ou f(2) est vrai

soit n * montrons que P(n)p(n+1)
soit n* je suppose que fn=V(x²+n)
donc f(n+1)=V(x²+n+1) donc on a  demontré que c'etait vrai...
??

Posté par
cailloux Correcteurre : recurrence et suite fof 18-09-07 à 19:40

Pour l' hérédité, c' est un peu léger:

On suppose que f_n(x)=\sqrt{x^2+n}

Alors, f_{n+1}(x)=f \circ f_n(x)=f[f_n(x)]=f[\sqrt{x^2+n}]=\sqrt{(\sqrt{x^2+n})^2+1}=\sqrt{x^2+n+1}

Posté par choupinette2007 (invité)re : recurrence et suite fof 18-09-07 à 20:38

merci beaucoup
mais dis moi y a une technique pour trouver ca? Psk je trouve plein de cour sur internet mais c'est pareil que ce de mon prof...

Posté par choupinette2007 (invité)re : recurrence et suite fof 19-09-07 à 18:42

et j'ai une autre question

comment fait on lorsqu on a demontrer qu'une suite est croissante lorsqu'on a seulement un+1 pour appliquer un+1-un par exemple quand on a un+1=-un²+2un (je l'ai trouver dans un des sujets dans ce forum)

Posté par
cailloux Correcteurre : recurrence et suite fof 19-09-07 à 19:23

Bonjour,

Je réponds à ta seconde question (je ne sais que répondre à la première...)

Pour cet exemple:

si u_{n+1}=-u_n^2+2u_n, alors u_{n+1}-u_n=-u_n^2+u_n=u_n(1-u_n)

Tout va dépendre de la place de u_n par rapport aux valeurs 0 et 1.

Il est probable que, dans une question précédente, on ait démontré que pour tout n, u_n\in [0,1] auquel cas u_{n+1}-u_n=u_n(1-u_n)\geq 0 et la suite est croissante (tout dépendra de u_0)

Un autre solution est d' étudier la fonction x\,\mapsto -x^2+2x ( on a alors u_{n+1}=f(u_n)) ce qui permet ensuite de faire des démonstrations par récurrence d' inégalités du genre:

\forall n\in \mathbb{N},\;\;0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 1 du coup, la croissance et la majoration par 1 de la suite (u_n) donc sa convergence, sont assurées.

En général, l' énoncé nous guide...




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