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recurrence matricielle
Bonjour, je vous demande de l'aide car je n'arrive pas à faire une démonstration par récurrence.
Soit la matrice Un = (An
Bn
Cn)
Où an+1= 0,95*an Avec a0= 1, b0=0 et c0=0
bn+1=0,05 an+0,8bn
Cn+1= 0,2 bn + cn
Soit la matrice V ( 0, 95 0 0
0,05 0,8 0
0 0 1)
Soit la matrice B (0,95 0 0
0 0 0
0 0 1)
On admet qu'il existe une inversible P telle que B= P^(-1) * V * P
Avec V^(n) = P*B^(n)* P^(-1)
On vérifie que pour tout n, un+1= V*Un
Montrer par récurrence que pour tout n, Un=V^(n) * U(0)
Mon initialisation je l'ai faite, par contre, pour mon hérédité je tourne en rond j'ai l'impression, donc si vous pouviez me donner quelques pistes.
Pour l'hérédité tu dois montrer que pour un n>=1, Un+1=V^(n+1)*U(0) on est d'accord ?
Or les hypothèses te donnent l'expression de Un+1 en fonction de Un, qui est lui-même défini en fonction de V^(n) par hypothèse de récurrence. Tu n'as plus qu'à les rassembler.
Comprendo ?
Merci beaucoup cizou de votre aide!
Hérédité: Si Un= V^(n)*U(0)
Alors, Un+1= V(n+1)* U(0)
Un+1= V(n+1)* U(0)
Or, Un+1= V*Un= V*V^(n)*U(0)= V^(n+1)*U(0)
Ensuite je conclus
Par contre pour quoi je ne peux pas faire mon initialisation à n=0 ?
Qui a dit que tu ne pouvais pas faire l'initialisation à n=0 ? Au contraire tu dois la faire à n=0 ! Mais pour l'hérédité tu dois prendre un n différent de 0 car tu viens de montrer dans l'initialisation que ça marchait pour n=0 on veut donc vérifier dans l'hérédité que ça marche pour nimporte quel n et donc pour un n quelconque supérieure ou égale à 1. 
En fait, j'avais mal interprété votre premier post c'est pour ça
Du coup, mon hérédité est correcte?
L'idée est correcte mais tu as rédigé maladroitement, il aurait fallu faire comme ceci:
Hérédité: On suppose que pour un n>=1, Un= V^(n)*U(0)
Montrons que Un+1= V(n+1)* U(0)
On sait que Un+1= V*Un
De plus par hyp de rec Un= V^(n)*U(0)
En remplaçant Un par son expression on obtient : Un+1= V*V^(n)*U(0)= V^(n+1)*U(0)
L'hérédité est donc vérifiée de plus l'initialisation est vraie on peut donc affirmer que pour tout n€N Un= V^(n)*U(0) .
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