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récurrence/suite/majoration

Posté par
pasiphaé 07-09-08 à 19:58

bonjour
j'ai un petit problème à résoudre mais je n'y arrive pas toute seule .
voici l'énoncé :
U0=1 et Un+1=racine de (Un+2)
il faut montrer quelle est croissante.
voilà merci pour votre aide.
j'utilise la formule Un+1-Un>0 mais j'y arrive pas

Posté par
Nightmarere : récurrence/suite/majoration 07-09-08 à 20:03

Salut :happy3:

Supposons qu'on ne sache pas vraiment comment faire, on sait juste qu'il faut montrer que 3$\rm U_{n+1}-U_{n}>0, ie 3$\rm \sqrt{U_{n}+2}\ge U_{n}

Il est clair par définition que U(n) est positive, on peut donc élever au carré, on obtient 3$\rm U_{n}+2\ge U_{n}^{2}
Il faudrait donc montrer que 3$\rm U_{n}^{2}-U_{n}-2\le 0

Soit encore 3$\rm (U_{n}+1)(U_{n}-2)\le 0

Il faut donc que 3$\rm -1\le U_{n}\le 2

On a déjà une inégalité puisque (Un) est positive. Il suffirait donc de montrer que 3$\rm U_{n}\le 2

Une petite récurrence !
U0 est bien inférieur à 2.

On suppose que c'est vrai pour un certain n, alors 3$\rm U_{n+1}=\sqrt{U_{n}+2}\le \sqrt{2+2}\le 2 c'est donc encore vrai au rang n+1. C'est alors vrai pour tout n.

Posté par
pasiphaérécurrence/suite/majoration 07-09-08 à 21:16

Merci beaucoup


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