Niveau maths spé

Rédaction d'un changement de variable

Posté par
theboss1er 11-02-09 à 21:55

Bonsoir,

comment être bien rigoureux dans la rédaction d'un changement de variable ??

faut-il toujours vérifier que le changement est un C1-difféomorphisme ?

merci d'avance

@+

Posté par re : Rédaction d'un changement de variable 12-02-09 à 06:44

Bonjour,  theboss1er

Cela dépend de la version du théorème que tu utilises (il faut donc vérifier que les différentes versions que je te donne se trouvent bien dans ton cours).

Version 1:
$3$ \int_a^b f\circ\varphi(t) \varphi'(t) dt = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)du$
Il suffit que f soit continue sur $\varphi([a,b])$ et que $\varphi$ soit de classe $C^1$ sur [a,b].

Version 2:
$3$ \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)}f(t) dt=\int_a^b f\circ\varphi(u)\varphi'(u) du$
Dans cette version, il suffit que $\varphi$ soit un $C^1$ -difféomorphisme et que f soit continue par morceaux sur [a,b]

Je vais illustrer la différence sur deux exemples.

Premier exemple:
$3$\int_{-1}^1 f(x^2)dx$
Ici, on peut appliquer la version 1 du théorème si f est continue sur [0,1], en posant   $\varphi(x)=x^2$ . L'intégrale demandée vaut 0 puisque   $\varphi(1)=\varphi(-1)=0$
On ne peut pas appliquer la version 2.

Deuxième exemple
$3$ \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{2+\sin x}$
Ici, une application des règles de Bioche donne le changement de variable  t= tan (x/2).
Cela nous amène à poser   $\varphi(t)=2 {\rm arctan} t$   (ou   $\varphi^{-1}(x)={\rm tan}\frac{x}{2}$ ) et à appliquer la version 2

Dans ce deuxième exemple, si les bornes avaient été 0 et $2 \pi$ , il n'aurait pas été possible de poser le changement de variable  t = tan(x/2) (il y a un problème pour   $x=\pi$ ). C'est un piège classique, illustrant la nécessité de vérifier soigneuseusement les hypothèses.

Je rappelle qu'il y a aussi une formule de changement de variable pour les fonctions intégrables et une formule de changement de variables pour les intégrales doubles (dont je ne rappelle pas les hypothèses ici).

Posté par re : Rédaction d'un changement de variable 12-02-09 à 06:59

Une erreur dans le post précédent.
Dans le premier exemple, il faut lire

$3$ \int_{-1}^1 2x f(x^2) dx$

au lieu de

$3$ \int_{-1}^1 f(x^2) dx$

Posté par re : Rédaction d'un changement de variable 12-02-09 à 16:27

merci

au sujet du problème en Pi comment ferait-on?

et pour les intégrales généralisées il y a quelque chose de différent ?

Posté par re : Rédaction d'un changement de variable 12-02-09 à 18:48

Pour le problème en $\pi$ , on utilise la $2\pi$ -périodicité de la fonction à intégrer:
$3$ \int_0^{2\pi}\frac{dx}{2+\sin x}=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{dx}{2+\sin x}$
On peut ensuite poser le changement de variable.
Autre idée: on peut intégrer de 0 à pi, puis de pi à 2 pi.

Extrait du programme de Spé MP (pour le changement de variable dans une intégrale généralisée):

Citation :

Changement de variable : étant données une fonction f intégrable sur I et une bijection $\varphi$ d'un intervalle I' sur I, de classe ${\cal C}^1$ sur I',
$3$ \int_If=\int_{I'}f\circ\varphi \cdot |\varphi'|$
Si I' a pour extrémités a et b:
$3$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)dx=\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)dt$

Il faut apprendre son cours (je ne vais pas citer les programmes de toutes les classes de Spé).

Posté par re : Rédaction d'un changement de variable 12-02-09 à 19:15

j'apprend le cours mais justement je voulais savoir le changement quand c'est une intégrale généralisée

Posté par re : Rédaction d'un changement de variable 06-01-17 à 10:09

Il y a une erreur dans la version 2 du theoreme de changement de variable donné en réponse (le resultat des versions 1 et 2 sont incohérents)

La vraie formule est :
$\int_a^bf(t)d t = \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)}f(\varphi(t))\varphi'(t)d t$

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