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Relation D'Euler, produit scalaire
J'ai un exercie a faire pour lundi et je ne vois pas vraiment comment le commencer. J'aurais besoin d'un coup de pouce s'il vous plait
1° ABC est un triangle. Pour tout point M du plan, montrer l'égalité :
MA.BC + MB.CA + MC.AB = 0
2° Application : Montrer que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Indication : on appele H le point d'intersection de deux hauteurs. Montrer que H appartient aussi à la troisième hauteur.
Et est ce que vous pouvez aussi voir le topic nommé "fait en grande partie", c'est aussi sur les produits scalaires. Merci
1°)
Ce qui sui est en vecteurs.
MA = MB + BA
MA.BC+MB.CA+MC.AB = (MB + BA).BC + MB.CA+MC.AB
= MB.BC + BA.BC + MB.CA + MC.AB
= MB.(BC + CA) + BA.BC + MC.AB
= MB.BA + BA.BC + MC.AB
= BA.(MB + BC) + MC.AB
= BA.MC + MC.AB
= MC.(BA + AB)
= 0.
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2°)
Supposons un triangle ABC et H le point de rencontre de 2 de ses hauteurs(par ex celles issues de B et de c).
Comme HB est perpendiculaire à CA, on a : HB.CA = 0 (1)
Comme AB est perpendiculaire à HC, on a : HC.AB = 0 (2)
Par la première partie de l'exercice, on a:
HB.BC + BA.BC + HB.CA + HC.AB = 0
avec (1) et (2) ->
HB.BC + BA.BC = 0
BC.(HB + BA) = 0
BC.HA = 0
Et donc BC est perpendiculaire à HA.
Et donc HA est la direction de la 3ème hauteur du triangle ABC.
Les 3 hauteurs du triangle ABC passent donc par un même point H.
Les 3 hauteurs d'un triangle sont donc concourantes.
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Sauf distraction. 
Bonjour,
Dans la relation, le point M apparaît ds les vect MA, MB et MC. On va le faire apparaître ds un seul vect, par ex MA et on pourra simplifier.
MA.BC + MB.CA + MC.AB =MA.BC+(MA+AB).CA+(MA+AC).AB-->tu développes et à la fin :
......................=MA(BC+CA+AB)+AB(CA+AC)
Mais BC+CA+AB=0 et CA+AC=0
Donc MA.BC + MB.CA + MC.AB =0
J'envoie.
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