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relation de comparaison et integrales impropres

Posté par
robby3 15-12-08 à 14:28

Bonjour tout le monde,
voilà l'exercice:

Citation :
Soient f et g deux fonctions continues de\mathbb{R^+} dans lui-meme telles que g(x)=o(f(x)) quand x tend vers +\infty et \Bigint_0^{+\infty} f(t)dt diverge.Montrer que \Bigint_0^x g(t)dt=o(\Bigint_0^x f(t)dt) quand x tend vers +\infty


voilà ce que je fais:

\forall \epsilon >0 \exists c\in [0,+\infty[ tq t\in [c,+\infty[ \Longrightarrow ||f(t)||\le \epsilon.\phi(t)
Alors \forall x\in [c,\infty[, ||\Bigint_x^{+\infty} f(t)dt||\le \Bigint_x^{\infty} ||f(t)||dt\le \epsilon \Bigint_x^{\infty} \phi(t) dt

cad \Bigint_0^x f(t)dt=o(\Bigint_0^x \phi(t) dt)


est-ce bien correct?

Posté par
Nightmarere : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 14:35

Salut

Non ça ne marche pas, ton intégrale est divergente ! Tes inégalités n'ont pas de sens du coup.

Posté par
robby3re : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 14:37

Salut,
d'accord, donc comment fait-on?

Posté par
Nightmarere : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 14:38

Au passage, tu as un peu mélangé les notations non? Qu'est-ce que ta fonction phi?

Posté par
robby3re : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 14:38

si je vais de x à b...puis je fait tendre b vers l'infini?non plus?

Posté par
robby3re : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 14:39

oui f->g et g->phi

Posté par
robby3re : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 14:39

euh phi-> f

Posté par
Nightmarere : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 14:42

Ce qu'il faut faire c'est travailler sur le segment [c,x[ et faire tendre x vers +oo en utilisant la croissance de 3$\rm \Bigint_{0}^{x} g.

Posté par
Nightmarere : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 14:43

Posts croisés, oui c'est bien ça qu'il fallait faire.

Posté par
Nightmarere : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 14:45

euh, la croissance de l'intégrale de [0,x] de f et non de g, bien sûr.

Posté par
robby3re : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 14:45

donc si je remplace dans mes inégalités +\infty par une variable \alpha puis si je fais tendre \alpha vers +\infty, c'est ok?

Posté par
Nightmarere : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 16:04

Désolé, j'étais parti.

Oui mais il faut travailler un peu plus, on écrit que :

3$\rm \|\Bigint_{a}^{x} g\|\le \Bigint_{a}^{c} \(|g|-\epsilon f\)+\epsilon\Bigint_{a}^{x} f (je passe les calculs bidons)

et tu conclus.

Posté par
robby3re : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 16:12

je comprend pas...

je traduis la prépondérance:

\forall \epsilon >0 \exists c\in [0,\alpha[ tq t\in [c,\alpha[ \Longrightarrow |g(t)\le \epsilon f(t)
alors \forall x\in [c,\alpha[, |\Bigint_x^{\alpha}g(t)dt|\le \Bigint_x^{\alpha} |g(t)|dt\le \epsilon \Bigint_x^{\alpha} f(t) dt
oui?

je fais tendre \alpha vers +\infty ensuite...et j'obtiens donc au final que
\Bigint_0^x g(t) dt=o(\Bigint_0^x f(t) dt) quand x tend vers +\infty

peux-tu m'expliquer pourquoi cela est faux???

en fait je comprend pas ce que tu fais...

Posté par
Nightmarere : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 16:16

Tu ne peux pas faire tendre alpha vers +oo comme ça, à droite tu as un truc divergent ça ne veut plus rien dire.

Tu ne comprends pas comment j'arrive à mon inégalité?

Posté par
robby3re : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 16:25

non je ne comprend pas pourquoi ton integrale va de a à x dans un premier temps...

aprés,tu découpes [a,x] en [a,c]+[c,x] mais aprés |\Bigint_a^x g|\le \Bigint_a^c |g|+\Bigint_c^x |g| je ne vois pas...

Posté par
Nightmarere : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 16:43

Oui déjà a=0. Ensuite ce qui nous intéresse ce sont bien les intégrales de f et sur [0,x] non? On travaille donc sur ce segment avec x dans [c,b[.

On a :
3$\rm \|\Bigint_{0}^{x} g\|\le \Bigint_{0}^{c} g+\epsilon \Bigint_{c}^{x} f=\Bigint_{0}^{c} (g-\epsilon f)+\epsilon \Bigint_{0}^{x} f

Voila, c'est mieux là.

Posté par
robby3re : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 17:09

hummm moué...et alors?
là on a répondu à la question?

ps:il manque des valeurs absolues...mais c'est pas trop grave

Posté par
Nightmarere : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 17:12

Pas besoin tes fonctions sont à valeurs dans R+

Pour la conclusion, tu dis qu'il existe à y dans [c,X[ tel que sur ce segment, 3$\rm \Bigint_{0}^{c} (g-\epsilon f)\le \epsilon \Bigint_{0}^{x} f (vrai puisque cette intégrale tend vers +oo)

Posté par
robby3re : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 17:34

bon je crois que je verrais demain parce que je comprend rien!
Merci quand meme Nightmare!

Posté par
Nightmarere : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 17:35

Qu'est-ce que tu ne comprends pas?

Posté par
robby3re : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 18:03

je m'embrouille entre 36 intervalles,il existe pleins de trucs dans tout pleins d'intervalle,on sait meme pas pourquoi...tout est flou!!

moi je pars de g(x)=o(f(x)) quand x tend vers +\infty et je traduis en terme d'epsilon par:

5$ \rm \forall \epsilon >0, \exists c\in [0,b[ tq t\in [c,b[ \Longrightarrow |g(t)|\le \epsilon f(t). \\ jusque la OK!


ensuite,je dois montrer que sachant ça et sachant que 5$ \Bigint_0^{+\infty} f(t)dt diverge que:

5$ \Bigint_0^x g(t)dt=o(\Bigint_0^x f(t)dt) quand x tend vers +\infty. \\
pour celà que fait-on??!!!
on écrit ce que tu écris à 16:43??

pour moi, je prendrais x dans [c,b[ et je regarde...

5$ |\Bigint_0^x g(t) dt|\le \Bigint_0^x |g(t)| dt
et là pourquoi on découpe en faisant intervenir c?!

ensuite,passons,découpons puisqu'il semble falloir découper...

j'ai donc:
5$ |\Bigint_0^x g(t) dt|\le \Bigint_0^x |g(t)| dt\le \Bigint_0^c |g(t)|dt+\Bigint_c^x |g(t)| dt\le \Bigint_0^c |g(t)|dt+\epsilon \Bigint_c^x f(t) dt \\ \\ =\Bigint_0^c |g(t)| dt +\epsilon \(\Bigint_c^0 f(t) dt+\Bigint_0^x f(t) dt\)=\Bigint_0^c \(g(t)-\epsilon.f(t)\)dt+\epsilon\Bigint_0^x f(t) dt \\

et ensuite comme 5$ \Bigint_0^x f(t) dt\longrightarrow +\infty,
et comme 5$ x\in [c,b[,on a assurément l'existence d'un y dans [c,x[ tel que 5$ \Bigint_0^c \(g(t)-\epsilon.f(t)\)dt\le \epsilon \Bigint_0^x f(t) dt

D'OU FINALEMENT:

5$ |\Bigint_0^x g(t) dt|\le 2\epsilon \Bigint_0^x f(t) dt
et donc 5$ \Bigint_0^x g(t) dt=o\( \Bigint_0^x f(t) dt\)


oui?

Posté par
Nightmarere : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 18:22

Voila, c'est ça

Posté par
robby3re : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 18:36

Citation :
Voila, c'est ça




juste un truc,pourquoi quand j'ai \Bigint_0^x |g(t)| dt on découpe en faisant intervenir c?

Posté par
Nightmarere : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 18:43

Parce que c'est à partir de c qu'on peut comparer avec f

Posté par
robby3re : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 18:46

ah oui...d'accord!
Bon merci Nightmare!!

Posté par
Nightmarere : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 18:48

Je t'en prie

Au passage, dans quel cadre fais-tu tous ces exercices si ce n'est pas indiscret? Préparation au Capes?

Posté par
robby3re : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 18:55

ah bah ouais préparation au capes...
en fait,on a des tds comme si on préparait des ds...sauf que y'a aucun ds qui portent sur ce que tu vois en TD...ça c'est la préparation au capes

comme tu peux le constater...j'ai du boulot pour préparer ce fameux capes!

Posté par
Nightmarere : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 18:56

C'est en forgeant qu'on devient forgeron comme on dit. Déjà, des quelques exercices qu'on a pu faire ensemble, je constate que le raisonnement te vient plus facilement.

Bon courage en tout cas.

Posté par
robby3re : relation de comparaison et integrales impropres 15-12-08 à 18:58

moué

Merci!


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