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Relation métrique dans un triangle
Soient A, B et C trois points non alignés, on pose:
a=BC, b=AC et c=AB
Â=(angle)BAC, ^B=(angle)ABC et ^C=(angle)ACB
1) En remarquant que (vecteur) BC=AC-AB, claculer BC² et établir a²=b²+c²-2bccosÂ
Que retrouve t on lorsque le triangle ABC est rectangle ABC?
2) On désigne par H le pied de la hauteur issue de C et h désigne la longueur CH.
a. Faire trois figures selon que l'angle  est aigu, obtus, ou droit.
b. En appelant, 
l'aire du triangle ABC, calculer dans chacun des cas , en fonction de b, c et Â.
c. En déduire les relations:
=(bcsinÂ)/2=(acsin^B)/2=(absin^C)/2
1) En remarquant que (vecteur) BC=AC-AB, claculer BC² et établir a²=b²+c²-2bccosÂ
Que retrouve t on lorsque le triangle ABC est rectangle ABC?
BC² = (AC-AB)²=AC²+AB²-2AC.AB (attention, ce sont des vecteurs donc produit scalaire...)
donc AC² = b² ; AB² = c² et AC.AB = bc cos(Â)
Si le triangle est rectangle, on trouve le théorème de Pythagore...
2) On désigne par H le pied de la hauteur issue de C et h désigne la longueur CH.
a. Faire trois figures selon que l'angle  est aigu, obtus, ou droit.
b. En appelant, l'aire du triangle ABC, calculer dans chacun des cas , en fonction de b, c et Â.
c. En déduire les relations:
=(bcsinÂ)/2=(acsin^B)/2=(absin^C)/2
AHC est un triangle rectangle en H, tu appliques la formule du sinus pour calculer h et tu conclus
j'ai besoin d'une petite explication je comprend pas comment on passe de
(AC-AB)²=AC²+AB²-2AC.AB ??
Tout simplement, on applique la formule (a-b)² = a²+b² - 2ab...
C'est une constatation que j'ai déjà observé sur le forum. On est en 1ère ou Terminale et on juge inutile ce que l'on a étudié au collège...
Ce que j'ai fais:
Dans le triangle AHC:
sinÂ= h/b h= b.sinÂ
Donc l'aire de ce triangle est:
A= c*h/2= (c*bsinÂ)/2
Dans le trinagle BCH:
sin^B= h/a h=asin^B
Donc l'aire de ce triangle est:
A=c*h/2 = (c*asin^B)/2
mais aprés comment je trouve (absin^C)/2 alors que CH est hauteur, je dois changer d'hauteur ?
quand je prends AH comme hauteur, j'ai dans le triangle ACH:
sin^C=h/b h=b*sin^C
donc l'aire du triangle est:
A= a*h/2= (a*bsin^C)/2
Et là je retrouve le résultat!
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