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résolution d'équation avec le cosinus hyperbolique

Posté par
j-j 13-09-08 à 14:38

Bonjour à tous !

J'aimerai savoir comment résoudre une équation du type ch(x)=a ( avec a un réel)
J'ai essayé de passer en ecriture exponentielle, mais je me retrouve bloqué au moment du passage au logarithme :s
Y aurait t'il une astuce partiuliere pour resoudre ce type d'equation ?

Merci d'avance pour vos réponses.
@+
Jeremy

Posté par
gui_toure : résolution d'équation avec le cosinus hyperbolique 13-09-08 à 15:44

Bonjour Jeremy.

Soit 3$a\in{\bb R}.

Définissons l'équation 3$\rm{(e) : }ch(x)=a

On peut d'ores et déjà écarter le cas 3$a<1 puisque 3$\forall t\in{\bb R},\;ch(t)\ge1.

Ecrivons différement (e) :

3$\rm{(e) : \Leftright }{4$\fr{e^x+e^{-x}}{2}}=a \\ \rm{(e) \Leftright }e^x+e^{-x}=2a \\ \rm{(e) \Leftright }e^{2x}+e^{-x+x}=2a.e^{x} \\ \rm{(e) \Leftright }e^{2x}-2a.e^x+1=0

Posons 3$X=e^x\ \Leftright x=\ell n(X)\ \rm{ si X>0}

Posons l'équation (e') suivante :

3$\rm{(e'): }X^2-2aX+1=0 \\ \rm{(e') \Leftright }X=\{a+\sqrt{a^2-1^}\\\rm{ou}\\a-\sqrt{a^2-1

Or,3$\forall a\in]1,+\infty[,\{\;a-sqrt{a^2-1}\le1\\a+sqrt{a^2-1}\ge1

Donc 3$X=a+\sqrt{a^2-1} et 3$x=\ell n(a+\sqrt{a^2-1})

Conclusion : \forall x\in{\bb R},\;ch(x)=\ell n(x+\sqrt{x^2-1^})[/tex]

Posté par
gui_toure : résolution d'équation avec le cosinus hyperbolique 13-09-08 à 15:44

J'ai raté la conclusion ^^

3$\forall x\in{\bb R},\;ch(x)=\ell n(x+\sqrt{x^2-1})

Posté par
raymond Correcteurrésolution d'équation avec le cosinus hyperbolique 13-09-08 à 15:46

Bonjour.

ch(x) = a

<=> ex + e-x = 2a

<=> e2x - 2aex + 1 = 0

En posant X = ex, ...

Posté par
j-jre : résolution d'équation avec le cosinus hyperbolique 13-09-08 à 16:16

Merci  à vous !

Je n'avais pas pensé au changement de variable ...
Comme quoi il ne faut pas toujours chercher quelque chose de compliqué !

@+


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