Niveau terminale

Résolution d'équation avec une exponentielle

Posté par kamylle (invité) 11-05-07 à 15:32

Bonjour,

j'ai une équation à résoudre:

F(x)= -x/a.exp(-x/a)-exp(-x/a).
Il faut trouver a pour F(2)=0,27.

Le problème est que quand j'utilise un ln, je me retrouve avec un a compris dans un ln et l'autre en dehors.

Comment faire pour passer outre de ce problème?

merci d'avance,

Camille

Posté par Résolution d'équation avec une exponentielle 11-05-07 à 16:12

Bonjour,
déjà on peut poser $Y=-\frac{2}{a}$ .
l'équation devient:
$(Y-1)e^{Y}=0,27$
Ensuite, il vaut mieux étudier la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(x-1)e^{x}$ puis utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour avoir l'existence de la ou des solutions.

Posté par kamylle (invité)Résolution d'équation avec une exponentielle 11-05-07 à 16:22

Merci beaucoup!!!!

mais c'est quoi le théorème des valeurs internédiaires? (désolé, en fait je suis étudiante et ça fait trois ans que j'avais pas fait de math, alors tout est partie bien loin!!)

Posté par Résolution d'équation avec une exponentielle 12-05-07 à 10:48

Bonjour,
le théorème des valeurs intermédiaires s'énonce(ancien théorème de la bijection mais version ligth):
Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur l'intervalle $a\ ;\ b$ , alors la fonction $f$ prends toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(b)$ une fois et une seule.

Ton exo:
La fonction $g$ ,avec $g(x)=(x-1)e^{x}$ , a pour dérivée:
$g^{'}(x)=xe^{x}$ .
Cette dérivée est négative sur $\]-\infty;0\]$ et positive sur $\[0;+\infty \[\ ^\$ .
Si tu dresses un tableau de variations de $g$ , tu peux voir que g est décroissante sur $\]-\infty;0\]$ avec $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}g(x)=0$ et $g(0)=-1$ . Donc ton équation n'a pas de solution sur l'intervalle $\]-\infty;0\]$ .

Sur $\]0;+\infty \[\ ^\$ , g est strictement croissante et continue. De plus, $g(0)=-1$ et $\lim_{x\to +\infty}g(x)=+\infty$ .
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, la fonction $g$ prends toutes les valeurs entre $-1$ et $+\infty$ une fois et une seule. Donc l'équation $g(x)=2$ admet une seule solution notée $x_0$ .
Par une méthode numérique(méthode du balayage ou dichotomie), on trouve que cette solution $x_0$ , se trouve être encadrée par:
$1,09<x_0<1,10$ et même $1,09<x_0<1,091$ donc $x_0$ est environ égale à 1,09.

On ne peut pas trouver de valeur exacte de la solution à cette équation a priori, à moins que tu es un peu approximer (le 0,27 est-il une valeur exacte ou approchée ?).
Ta solution est alors: $-\frac{2}{a}=1,09$ et $a=-1,83$ environ.

Posté par kamylle (invité)Résolution d'équation avec une exponenetielle 12-05-07 à 12:17

ça répond à mon problème.
Merci!!!

Posté par Résolution d'équation avec une exponenetielle 12-05-07 à 12:38

De rien, au revoir.

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