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resolution d'equation diferentielle

Posté par
Saku 22-05-09 à 01:37

L'équation différentielle est la suivante :

Xy'-y=X^3

Questions poser :

Déterminer une solution particulière qui soit sous la forme H(x) = lambda^3 ou lambda est une constante convenable .

(La solution générale je l'est trouver
  > solution sans  second membre  après résolution
           intégrale générale Xy'-y= 0 est donné par y= lambda exp(-lnx)= lambda exp ln 1/x = lambda /x


Par contre j'ai un problème pour trouver la solution particulière , donc si vous pouviez me donner quelque piste .

Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : resolution d'equation diferentielle 22-05-09 à 04:45

Bonsoir ;

Pour cette équation on peut dévier le chemin classique : solution homogène + solution particulière

en remarquant qu'elle sécrit pour x\neq 0 , 4$\red\fbox{\left(\frac{y}{x}\right)'=x}

d'où l'existence de deux constantes réelles \alpha et \beta tels que 4$\blue\fbox{\{{\forall x>0\;,\;y=\frac{x^3}{2}+\alpha x\\\forall x<0\;,\;y=\frac{x^3}{2}+\beta x}

ce sont les solutions générales sur chacun des intervalles ]0,+\infty[ et ]-\infty,0[

si y est solution sur \mathbb{R} , sa dérivabilité en 0 impose 3$\fbox{y'(0)=\lim_{0^+}\frac{y}{x}=\alpha=\lim_{0^-}\frac{y}{x}=\beta}

les solutions générales sur \mathbb{R} sont donc les fonctions 4$\blue\fbo{x\to\frac{x^3}{2}+\alpha x\\\alpha\in\mathbb{R}}

on remarquera au passage que 2$\fbox{x\to\alpha x\\\alpha\in\mathbb{R}} sont les solutions de l'équation homogène
et que 2$\fbox{x\to\frac{x^3}{2}} en est une solution particulière sauf erreur bien entendu



remarque : En général on doit toujours préciser l'intervalle sur lequel on veut résoudre une équation différentielle donnée
vu que la forme des solutions dépend souvent de cet intervalle ...

Posté par
apaugamre : resolution d'equation diferentielle 22-05-09 à 12:00

si on n'a pas vu l'astuce de elhor_abdelali
on cherche une solution particulière polynôme
on regarde de quel degré doit être cette solution et l'on trouve facilement

Posté par
apaugamre : resolution d'equation diferentielle 22-05-09 à 12:02

il faut d'abord corriger ta solution de l'equation ss second membre

Posté par
Sakure : resolution d'equation diferentielle 22-05-09 à 15:56

Merci de votre aide .
Je l'ai fais a la manière facile et j'obtiens aussi X^3/2 comme solution particulière .
Donc vous n'avait pas fait d'erreur de calcul .

Merci bc.


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