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Résolution d'équation différentielle
Bonsoir, je viens demander l'aide des mathématiciens présents afin de m'aider a resoudre un probleme de calcul intégrale impliquant une équation différentielle puisque j'ai un examen dans quelques jours et que je tiens absolument a comprendre les exercices donnés par mon professeur en révision.
Donc voila le probleme:
Un réservoir cylindrique de 55 cm de rayon et de 1,5 metres de hauteur est rempli d'eau. Une petite valve de 6 mm de rayon, située a la base du réservoir, est ouverte au temps t=0.
La hauteur du niveau de l'eau dans le réservoir dépend du temps écoulé en secondes. Cette hauteur, donnée par la fonction h(t), est régie par l'équation différentielle:
dh/dt = -(r/R)2 (2gh)
Ou g= 9,8 m/s2 désigne la constante de gravitation terrestre, R désigne le rayon du réservoir et r, celui de la valve.
a) Apres combien de temps, suite a l'ouverture de la valve, le réservoir sera-t-il vidé ? La réponse doit etre exprimée en heures, minutes, secondes.
b) Une heure apres l'ouverture de la valve, combien reste-t-il de litres d'eau dans le réservoir ?
Je sais qu'il s'agit de trouver l'intégrale de l'équation ci-dessus, et qu'il s,agit d'une équation differentielle avec la condition initiale suivante: h(0)= 1,5 m, mais je ne saisi vraiment pas comment résoudre ce problème.
J'espere que vous pourrez m'aider, merci d'avance !
Bonjour,
Ton équation ne semble pas bien écrite ; le 2 du milieu est-il un carré ?
Sinon, ton équation semble être de la forme h ' = kh .
Les solutions doivent être dans ton cours.
Tu peux aussi consulter 
les équations différentielles : cours
Oui pardon, l'équation était effet mal écrite, je crois que mes symboles n'ont pas fonctionnés. L'équation est donc la suivante:
dh/dt = -(r/R)2 [!!smb]racine(2gh)[/smb]
Ton équation n'est pas homogène ... et donc forcément fausse.
Vient de l'équation de Toriccelli facilement démontrable,
La vitesse d'écoulement par le trou est v² = 2gh
donc le débit est D = s.racinecarrée(2gh) (s = section du trou)
avec D = -S.dh/dt, on a : s.racinecarrée(2gh) = -S.dh/dt (S = section du réservoir)
Comme s = Pi.r² et S = Pi.R²
On a : Pi.r².racinecarrée(2gh) = - Pi.R².dh/dt
(uniquement valable si R > > r ... mais c'est le cas)
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Sauf distraction. 
dh/dt = -(r/R)².V(2gh) (avec V pour racine carrée).
dh/dt = -(r/R)².V(2g) . Vh
dh/Vh = -(r/R)².V(2g) dt
2.Vh = -(r/R)².V(2g) * t + K
en t = 0, h = ho ---> 2.V(ho) = K
2.Vh = -(r/R)².V(2g) * t + 2.V(ho)
Vh = -(r/R)².V(g/2) * t + V(ho)
h = [V(ho) - (r/R)².V(g/2) * t]² ... valable tant que V(ho) - (r/R)².V(g/2) * t >= 0, donc pour t dans [0 ; V(2ho/g).(R/r)²]
h = [V(1,5) - (0,6/55)².V(9,8/2) * t]²
h = (1,225 - 2,634.10^-4.t)² pour t dans [0 ; 4650] s
a)
vide pour h = 0 ---> en t = 4650 s = 1h 17min 30s
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b)
En t = 3600 s (1 heure)
h = (1,225 - 2,634.10^-4.t)² = 0,0766 m
Volume eau = Pi*R².h = Pi * 0,55² * 0,0766 = 0,0728 m³ = 72,8 L
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Recopier sans comprendre est inutile.
Sauf distraction (rien vérifié).
Il semble que mon mobile ne veuille rien savoir des symboles puisque j'ai fait apercu avant de poster et ma racine carrée était presente.
Voici donc la VRAIE équation: dh/dt = -(r/R2
(2gh)
Désolé une fois de plus, sincerement..
Il faut vraiment faire attention, ce que tu viens d'écrire est encore faux.
dh/dt = -(r/R)² * V(2gh)
Bon je crois que je vais laisser tomber le fair de reussir a ecrire cette equation de manière adequate sur mon mobile 
Je te remercie Pour ton aide J-P, je n'avais jamais entendu parler de l'équation de Toriccelli mais elle m'a beaucoup aidé à comprendre ! Merci aussi pour yes explications et ne t'inquiète pas le faire de recopier sans comprendre, mon but est justement de comprendre comment résoudre ce probleme par moi-meme puisqu'il y a de forte chance pour qu'un numero tel que celui-ci se retrouve dans mon examen. Merci une fois de plus pour ton aide !
Rebonsoir, je m'adresse à J-P concernant la solution présentée ci-dessus. Je comprend parfaitement les différentes étapes de la démarche que tu as effectuée mais je ne comprend pas pourquoi tu m'as pas intégré ton équation à un certain moment.. Il me semble pourtant que pour résoudre une équation différentielle avec condition initiale, il faut utiliser les intégrales... Je mélange peut-être avec autre chose ?!
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