Pour montrer que l'équation a une seule solution, il faut utiliser le théorème de la bijection.

Il faut savoir ce qu'on entend par " résoudre " , "calculer " , "trouver"  .
Souvent ça veur dire : "J'ai fait cet exercice et j'ai trouvé qu'il y avait une jolie formule. Je vous demande de la retrouver  "

Exemples :
1.Résoudre dans : x³ + 2x² -x - 2 = 0

2.Résoudre dans x² = 7 .

On s'estime satisfait  en disant "c'est -7 et 7 .
Mais que veut dire connaitre  7 ?
Est-ce " à 10^-5 près " ou savoir que c'est le seul réel > 0 dont le carré est 7 ?


3.Résoudre dans ₊^* : y ' = 1/x .

On cherche dans le stock de fonctions déjà connues (puissances , trigonométriques,...)  une qui soit dérivable et qui vérifie "   x > 0 , y '(x) = 1/x" ; mais on n'en trouve pas. On s'en sort en disant que x 1/x , de ₊^* vers ) étant continue admet des primitives et on désigne par ln celle qui s'annule pour x = 1.
Comment connait-on ln(3) par exemple ? On peut dire c'est le réel ₁³ (1/x)dx . Il peut être suffisant de savoir "qu'il existe" pour pouvoir continuer un problème.
Mais si la longueur d'un terrain est 153 métres il sera peut être plus utile de connaitre 153 à  10^-1 métre près .



Dans ton exo on te demande de montrer qu'il existe un seul réel a > 0 vérifiant f(a) = 0.
On pourra te demander d'en fournir une certaine approximation plus tard . Ta calculette t'en donne déjà jusqu'à un certain ordre.

Soit f : x (x + 1)ln(x) - x de ₊^* vers .
En étudiant les varitions de x xln(x) + 1 on peut démontrer que f est strictement croissante de + à + .

Le théorème VI dit des valeurs intermédiaires permet de conclure.