Bonjour

C'est clair sur l'équation que si y est nul en un point c'est aussi le cas pour y'. Alors commence le travail par: Soit I un intervalle sur lequel y ne s'annule pas. Fais le boulot jusqu'au bout, (ça m'a l'air bien commencé) et une fois que tu as des solutions, regarde: peuvent-elles s'annuler? Si oui, la fonction prolongée par 0 en ces points est-elle dérivable?

Merci pour ta reponse.

J'ai fait les calculs jusqu'au bout et j'obtiens comme fonction: y^p-1(x)=1/[(1-p)*(ax+b)] ou a et b sont des constantes.... Donc je vais avoir des intervalles qui dependent de constantes?

Est-ce que je peux dire: s'il existe xo tel que y(xo)=0, alors y'(xo)=0 et on a un probleme de cauchy et y=0 est la solution.
Ensuite: on suppose que y(x) different de 0 pour tout x et ensuite on fait les calculs.

Ce raisonnement marche-t-il?

Aussi, pour mes calculs je dois faire le quotien y"/y'. Mais si y est different de 0 en tout point ca ne veut pas forcement dire que y' l'est aussi non? et donc mon quotient ne marche plus forcement...

Doucement...

C'est vrai que la fonction nulle est solution. Mais tu n'as pas un problème de Cauchy, puisque ce n'est pas de la forme y''=F(x,y,y'). Il se trouve en effet que tes fonctions solutions ne s'annulent pas, mais si p est quelconque, tu ne dois prendre que des intervalles où la fonction est positive, (pour prendre la puissance 1/(1-p)) Les intervalles dépendent évidemment des constantes, il faut au moins éliminer -b/a.

Enfin, ici, si y est nul en un point y' aussi, regarde l'équation!

Dans ce cas la je dois decouper mon intervalle I en deux intervalles? ]-,-b/a[ et ]-b/a,+[? La dessus je sais que y ne s'annulle pas. Ensuite je dois resoudre en m'arrangeant que y soit toujours positive. Et la j'ai deux cas en fonction de p pour l'hypothese y positive. C'est cela? et dans le cas ou j'ai une fonction y negative, pour la rendre positive je prend -a et -b par exemple? Est-ce cela???

Pas tout-à-fait...

Il faut séparer p > 1 et p < 1. Si 1-p > 0 :
Si a > 0, l'intervalle correct est et si a < 0, c'est .

C'est le contraire si 1-p < 0.

En regardant mieux le cas a=0, je m'aperçois qu'en plus de la fonction nulle, n'importe quelle fonction constante est aussi solution.

Donc en fait, les solutions sur R sont en fait des solutions sur des intervalles du genre (-b/a,infini).
On n'a pas de solution sur R tout entier.

... sauf les constantes!

oui oui! ^^ Je vais essayer de remettre tout ca au propre et je te tiens au courant si je bloque ^^ Merci  beaucoup!

Il y reste un truc que je ne comprends pas... Pourquoi on ne s'interesse qu'a a et pas au signe de b??

J'ai rien dit j'ai rien dit question stupide

tex] \mathbb R[/tex]-{}  

...sur -{}

Pour tout réel p soit S(p) l'ensemble des y : qui sont 2 fois dérivables et qui vérifient : y.y " = p(y ')² .
Remarques :
1.Tout S(p) contient l'ensemble C des applications de dans qui sont constantes.
2.Si y S(p) il est clair que pour tout , tout a tout {-1 1} , x .y((x-a)) est dans S(p).
3.S(0) contient les applications affines.
4.S(1/2) contient x x²
5.S(1) contient exp .

Soit donc p .

Analyse:  Supposons que f soit dans S(p) et ne soit pas constante . Posons = {x | f(x)f '(x) 0} . est ouvert car f.f 'est continue et (sinon ff ' = 0 donc f² est constante et f aussi) . Soit U l'une de ses composantes connexes .(Si tu n'as pas vu encore ça tu prends a ; tu poses s = Inf{x | x a et [x,a] } , t = Sup{x | x   a et [a,x] } et enfin U = ]s,t[ . Bien sûr tu peux avoir s = - et t = +) .
Si t < + alors t (car f et f ' sont continues et si (ff ')(t) était non nul il existerait > 0 tel que dans [s-,s+] ff '  ne s'annulerat pas et on aurait t +   Sup(U) = t donc aussi 0 , ce qui n'est pas vrai) De même si s est un réel ona s .
De plus f et f ' gardent un signe constant sur U . On supposera f > 0 sur U (sinon on remplacerait f par -f qui est dans S(p) et non constante) .  
Sur U on a :  f "/f ' = p.f '/f . Il est alors facile de voir que si p 1 , il existe (a,b) * tel que pour x U on ait : (f(x))^1-p = a(x-b) .
x - b garde donc un signe constant quand x décrit U . Autrement dit : U ]b , +[  ou U ]- , b[  .
Supposons par exemple  U ]b , +[  et soient s = Inf(U) , t = sup(U) .
  Si t < +  quand x tend vers b en restant dans U , f(x) = (|a|.|x - b|)^1/(1-p) ne tend pas vers 0 et f '(x) = (1/(p-1))|a|^1/(1-p).|x - b|^p/(1-p) non plus . Cela entraine que s ce qui est contradictoire.
On montre de même qu'on ne peut avoir b > 0 . On a donc U =  ]b , +[  
De la même façon si   U ]- , b[ alors U = ]- , b[ .
Supposons U = ]b , +[  . Pour x > b , f "(x) =|a|p(1-p)^-2(x - b)^(2p-1)/(1-p) tend vers f "(b) lorsque x tend vers b par valeurs positives . On a donc p = 0 ou (2p-1)/(1-p) 0 càd p [1/2 , 1] . La conclusion est la même si U = ]- , b[ .


Conséquences
Pour S(1) : D'après l'analyse si f S(1) et n'est pas constante il existe (,c) ² tel que > 0 et f(x) = .exp(cx) pour x dans U. Aucune extrêmité  de U ne peut être finie puisque (f.f ')(x) = ².c.exp(2cx) ne s'annule pas sur . Donc U = .
On voit donc que S(1) = { x .exp(cx) |  (,c) ² } (la synthèse est facile)

  
Pour S(o) : D'après l'analyse si f S(0) et n'est pas constante il existe a , b , c  réels  tels  que si x < b , f(x) = 0 ou a(x-b) et si x > b f(x) = 0 ou c(x - b)
   .On ne peut avoir  f(x) = 0 pour x < b et f(x) = c(x - b) pour x > b car sinon  f étant dérivable en b on aurait c = 0 et f serait constante = 0 , ce qui n'est pas vrai.
De même on ne peut avoir f(x) = 0 pour x > b et f(x) = a(x - b) pour x < b . On a donc f(x) = a(x - b) pour x < b  et f(x) = c(x - b) pour x > b ; la dérivabilité de f en b implique a = c et donc f est affine non constante .
On voit donc que S(0) = { x ux + v | (u,v) ² } (la synthèse est facile) .

Pour S(1/2) : D'après l'analyse si f S(1) et n'est pas constante il existe a , b , c  réels tels que  " f(x) = 0 ou a(x-b)² si x < b " et "f(x) = 0 ou c(x - b)² si x > b "
On ne peut avoir f(x) = 0 si x < b et c(x - b)² si x > b car f étant 2 fois dérivable au pont b on aurait 2c = 0 et f serait constante = 0 , ce qui n'est pas vrai. De même on ne peut avoir f(x) = 0 pour x > b et f(x) = a(x - b)² pour x < b . On a donc f(x) = a(x - b)² pour x < b  et f(x) = c(x - b)² pour x > b et 2c = 2a = f "(b) implique a = c . On a alors S(1/2) = C { x a(x-b)² | (a,b) ² } .

Pour p * \ ]1/2 , 1[ , S(p) = C .  
Pour p ]1/2[ .
Posons 1.(x) = 0 pour x 0 et (x) = x^1/(1-p) pour x > 0 .
  2.(x) = (-x)^1/(1-p) pour x < 0 et (x) = 0 si x   0 .
  3.(x) = |x|^1/(1-p) pour x 0 et (0) = 0 .
, , sont dans S(p) et l'analyse a montré que si f S(p) et si elle n'est pas constante il existe * , b et F { , , } tels que pour tout x on ait f(x) = F(x - b) .
D'après l'analyse (et une synthèse faciole) on voit que S(p) est constitué de ces applications auxquelles on rajoute les application constantes .


PS (pour M.Verdurin) Je n'ai pas trouvé de démonstration moins lourde. S'il veut bien l'alléger et poster de belles courbes colorées , je lui en serai très reconnaissant.