Ce que je ne comprends pas c'est la manière de débuter. En effet, je dois ramener cette récurrence sous la forme homogène ou non-homogène pour que je puisse la résoudre aisément pas la suite.

Cela veut dire quoi "Résoudre cette récurrence" ?

Tu dois trouver une expression de Tn en fonction de n en utilisant un raisonnement par récurrence ?
Ou bien
Tu dois étudier la convergence ou non de la série en utilisant un raisonnement par récurrence ?
ou bien ...
-----

Si c'est trouver si Tn converge.

T(n) = 1/(4-T(n-1))

T(n+1) = 1/(4-T(n))

Supposons a priori que la suite Tn converge, alors on aurait Avec L cette limite de convergence:
L = 1/(4-L)
L² - 4L + 1 = 0
L = 2 +/- V3   (avec V pour racine carrée).

Donc Si Tn converge ce ne peut être que vers une des ces 2 valeurs.
-----
Reste à savoir si c'est cela que tu voulais (voir interrogation du début)


Supposons 0 <= Tn < 2 - V3
On a alors:
V3 - 2 < -Tn <= 0
4 + V3 - 2 < 4-Tn <= 4+0
V3 + 2 < 4-Tn <= 4
1/4 <= 1/(4-Tn) < 1/(2+V3)
et donc a fortiori:
0 <= 1/(4-Tn) < 1/(2+V3)
0 <= 1/(4-Tn) < (2-V3)/[(2+V3)(2-V3)]
0 <= 1/(4-Tn) < (2-V3)/(4-3)
0 <= 1/(4-Tn) < 2-V3
0 <= T(n+1) < 2-V3

Donc , on a montré que si 0 <= Tn < 2 - V3, alors on a aussi 0 <= T(n+1) < 2 - V3

Comme 0 <= T(0) < 2 - V3, on a aussi 0 <= T(1) < 2 - V3
Comme 0 <= T(1) < 2 - V3, on a aussi 0 <= T(2) < 2 - V3
Et ainsi de proche en proche, on a: 0 <= T(n) < 2 - V3 pour tout n de N.

On conclut que la suite Tn est bornée.
-----
T(n+1) - T(n) = 1/(4-T(n)) - T(n)
T(n+1) - T(n) = [(T(n))²-4.T(n)+1]/(4-Tn)

Avec 0 <= T(n) < 2 - V3, (4-Tn) est > 0 et T(n+1) - T(n) a le signe de (T(n))²-4.T(n)+1

Les solutions de (T(n))²-4.T(n)+1 = 0 sont T(n) = 2-V2 et T(n) = 2+V3

(T(n))²-4.T(n)+1 = (T(n) - (2-V3)).(T(n) - (2+V3))
Tableau de signes -> (T(n))²-4.T(n)+1 > 0 pour 0 <= T(n) < 2 - V3

Et donc: T(n+1) - T(n) > 0
T(n+1) > T(n)
On conclut que la suite Tn est croissante.
-----
La suite Tn est croissante et bornée, donc elle converge.

De tout ce qui précède, on conclut que Tn converge vers 2 - V3
-----

Reste à savoir si c'est cela que tu voulais (voir interrogation du début)

Sauf distraction.  

Non, c'est l'autre possibilité, exprimé t_n en fonction de n uniquement, enlevé la récurrence. Merci pour cette analyse ça m'A rappelé pls concepts importants

Je cherche à exprimer la récurrence en fonction de n. Comment puis-je transformer ma récurrence pour obtenir une forme plus convivial à traiter ?

juste pour le faire remonter en haut

Bonjour,
je cherche à résoudre cette récurrence pour obtenir une expression en fonction de n :

T_n = 0 si n = 0
                1/(4-T_n-1) sinon

Merci pour l'aide, la seule chose que je puis dire, car j'en suis presque sur c'est que pour transformer dans une plus belle forme, il faut utiliser t_n=y_n-1/y_n

Mais je ne suis pas capable de me rendre plus loin

*** message déplacé ***

Salut,

Je suis tombé par hasard sur cette page, en cherchant une piste pour résoudre une récurrence similaire.
Ça fait longtemps que ce problème a été posé, mais je ne vois pas de manière simple de le résoudre.
Est ce que quelqu'un a une piste ??

Pour reprendre le fil de la conversation, on cherche à résoudre la récurrence exactement, donc à exprimer T_n comme f(n), i.e on ne s'intéresse pas à la convergence de T_n ni à sa limite.

Merci !

Personne n'a une idée ?
N'importe quoi qui puisse me faire réfléchir .. j'ai essayé plusieurs vois mais rien ne fonctionne.

C'est une suite homographique

Zut, ci dessous j'ai écris u() au lieu de T'), corriger en conséquence ...


u(n+1) = (a.u(n) + b)/(c.u(n) + d)

A partir de l'expression de l'énoncé : u(n+1) = 1/(4 - u(n))

a = 0, b = 1
d = 4, c = -1

cr² + (d-a)r - b = 0

-r² + 4r - 1 = 0
--> 2 solutions réelles distinctes: r = 2 +/- V3

Poser v(n) = (u(n) - 2 + V3)/(u(n) - 2 - V3)

v(n+1) = (u(n+1) - 2 + V3)/(u(n+1) - 2 - V3)

v(n+1) = (1/(4-u(n)) - 2 + V3)/(1/(4-u(n)) - 2 - V3)

v(n+1) = (1 - 2(4-u(n)) + V3.(4-u(n)))/(1 - 2(4-u(n)) - V3.(4-u(n)))

v(n+1) = (U(n).(2-V3) - 7 + 4V3)/(U(n).(2 + V3) - 7 - 4V3)

v(n+1) = [(2-V3).(U(n). - (7 -4V3)/(2-V3)) /[(2 + V3).(U(n). - (7 + 4V3)/(2 + V3)]

v(n+1) = [(2-V3).(U(n). - (7 -4V3)(2+V3)/((2-V3).(2+V3)) /[(2 + V3).(U(n). - (7 + 4V3)(2-V3)/((2 + V3)(2-V3))]

v(n+1) = [(2-V3).(U(n). - (14+7V3-8V3-12)/(2²-3)) /[(2 + V3).(U(n). - (14-7V3+8V3-12)/(2²-3)]

v(n+1) = [(2-V3).(U(n). - (2-V3)/(1)) /[(2 + V3).(U(n). - (2+V3)/(1)]

v(n+1) = [(2-V3)/(2+V3)].(U(n). - 2 + V3) / (U(n). - 2 - V3)

v(n+1) = [(2-V3)/(2+V3)] . v(n)

Et donc v est une suite géométrique de raison (2-V3)/(2+V3)
et de premier terme v(0) = v(n) = (U(0) - 2 + V3)/(U(0) - 2 - V3) avec U(0) = 0
v(0) = (- 2 + V3)/(- 2 - V3) = (2 - V3)/(2 + V3)

--> v(n) = [(2 - V3)/(2 + V3)]. [(2-V3)/(2+V3)]^n

v(n) = [(2-V3)/(2+V3)]^(n+1)
---

v(n) = (u(n) - 2 + V3)/(u(n) - 2 - V3)

u(n) - 2 + V3 = v(n) * (u(n) - 2 - V3)

u(n) .(1 - v(n)) = 2 - V3 - (2+V3).v(n)

u(n) = (2 - V3 - (2+V3).v(n))/(1 - v(n))

u(n) = (2 - V3 - (2+V3).v(n))/(1 - v(n)) avec v(n) = [(2-V3)/(2+V3)]^(n+1)

...

En remplaçant (voir début) u par T -->


T(n) = (2 - V3 - (2+V3).v(n))/(1 - v(n)) avec  v(n) = [(2-V3)/(2+V3)]^(n+1)

T(n) = (2 - V3 - (2+V3).((2-V3)/(2+V3))^(n+1)  )/(1 - ((2-V3)/(2+V3))^(n+1))

T(n) = ((2 - V3).(2+V3)^(n+1) - (2+V3).(2-V3)^(n+1))/((2+V3)^(n+1) - (2-V3)^(n+1))
-----

Sauf distraction.