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Résolution de triangles
Bonjour,
J'ai un problème avec un exercice: en fait je ne sais pas comment appliquer le théorème de la médiane, je sais pas comment m'y prendre.
Voici l'énoncé:
En utilisant le théorème de la médiane, démontrer que dans un parallélogramme, la somme des carrés des 4 côtés est égale à la somme des carrés des deux diagonales, autrement dit que:
AB²+BC²+CD²+DA²= AC²+BD²
Merci d'avance
Bonjour,
Appelle I l'intersection des diagonales. Je te rappelle qu'elles se coupent en leur milieu donc BI est mediane de (ABC) et (AI) est mediane de (ADB)
Theoreme de la médiane dans le triangle (ABC)
AB2+BC2=1/2AC2+2BI2
Idem dans le triangle (ADB)
AD2+AB2=1/2DB2+2AI2
or AD=BC
Donc BC2+AB2=1/2DB2+2AI2
En additionnant membre à membre les relations obtenue dans les 2 triangles, on obtient:
2AB2+2BC2=1/2(AC2+BD2) +2(BI2+AI2)
Or BI=1/2BD et AI=1/2AC
donc 2(AB2+BC2)=AC2+BD2
A gauche tu reconnais la somme des carrés des cotés
(car AB=CD et BC=AD) et à droite la somme des carrés des diagonales
Voici un exercice:
ABCD est un carré de côté a, et EBC est un triangle équilatéral.
1)Calculer en radians une mesure de ABE, puis de BAE.
2)Démontrer que AE²=a²(2-
3)
3)En utilisant la formule d'Al-Kashi, calculer cosBAE.
4)En utilisant la règle des sinus, calculer sinBAE.
5)Vérifier que cos²BAE+sin²BAE=1.
J'ai pu résoudre la première question. Pour la deuxième question je pense savoir ce qu'il faut utiliser mais je ne sais pas comment démarrer. Et pour la trosième question j'ai trouvé a[/sup]4 / -2a[sup]3 -4-"racine de" 3 mais je ne sais pas si c'est bon.
Merci d'avance pour celui pourra m'aider.
Il aurait été préférable que tu postes un autre topic
(1 exercice= 1 topic)
Quoi qu'il en soit si tu as fait une figure tu vois que:
(ABE)= (ABC)+(BCE)
Or (ABC)= 
/2 et (ABE)=/3 (car BCE est un triangle equilateral)
Donc (ABE)= 5/6 radians
Pour l'angle (BAE) que peux tu dire du triangle (BAE)?
Est-ce que quelqu'un peut m'aider pour l'exercice précédent svp?
J'ai trouvé que le triangle ABE est isocèle en B.
Par contre moi j'ai écrit: ABE=ABC-CBE d'où ABE=/3 radians.
Tu peux m'expliquer comment t'as fait toi stp?
Voici un exercice:
ABCD est un carré de côté a, et EBC est un triangle équilatéral.
1)Calculer en radians une mesure de ABE, puis de BAE.
2)Démontrer que AE²=a²(2-3)
3)En utilisant la formule d'Al-Kashi, calculer cosBAE.
4)En utilisant la règle des sinus, calculer sinBAE.
5)Vérifier que cos²BAE+sin²BAE=1.
J'ai pu résoudre la première question. Pour la deuxième question je pense savoir ce qu'il faut utiliser mais je ne sais pas comment démarrer. Et pour la trosième question j'ai trouvé a[/sup]4 / -2a[sup]3 -4-"racine de" 3 mais je ne sais pas si c'est bon.
Merci d'avance pour celui qui pourra m'aider.
*** message déplacé ***
Non tu ne peux pas ecrire (ABE)=(ABC)-(CBE)
D'ailleurs sur la figure tu vois bien que c'est "+" qu'il faut mettre.
Oui le triangle (BAE) est isocele donc (BAE)=(AEB))
Or la somme des angles d'un triangle est egale à
donc (BAE)+(AEB)+(ABE)=
soit 2(BAE)=-(ABE)
D'ou (BAE)= /12
Je suis vraiment désespéré avec cet exercice. Je refais les calculs mais je reste bloquée. Est-ce quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît?
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OK merci j'ai compris mais moi je bloque aux questions 2 et 3. Tu peux m'expliquer stp?
Bonjour,
je trouve ABE= 5/6 radians et BAE=/12 radians
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Par contre je ne sais pas comment faire pour la question 2 (les démonstrations c'est pas mon point fort en maths!). Est-ce que quelqu'un peut m'aider svp?
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Je trouve quelque d'assez bizarre pour la question 3. Et j'ai toujours pas trouvé la solution pour la question 2. Qui peut m'aider svp??
Faisons une figure.
Traçons la droite (A'B') ou A' et B' sont les milieux de AD et BC.
Comme (BCE) est équilateral, EB' est une hauteur de ce triangle.
Remarque que (AEA') est rectangle en A'
Qu'en déduis tu pour AE2?
A l'intérieur du carré. Mais avant de trouver 5pi/6 et pi/12 j'avais trouvé pi/6 et 75° pour l'angle BAE. Je sais plu où j'en suis
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Aiuto le triangle équilatéral est à l'intérieur du carré
Et quand tu mesures sur ta figure (avec un rapporteur), combien trouves-tu pour ABE et BAE ?
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Oui mais je ne pouvais pas deviner si tu ne postes pas la figure.
Dans ce cas pour le 1) tu as raison
(ABE)=(ABC)-EBC)= /2-/3=/6
Et (BAE)= 5/12.
2) Traces quand meme A'B'
Que peux tu dire du triangle A'AE?
A'AE est un triangle rectangle en A'. Mais je ne vois pas où sa va mener sa.
C'est bon j'ai trouvé mon erreur. ABE= pi/6 et BAE= 75°. Mais moi ce qui me pose problème ce sont les questions 2 et 3. Merci d'avance pour celui qui pourra m'expliquer.
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Il faudrait d'abord finir la 1)...
Pour BAE, l'énoncé demande une mesure en radians.
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En fait je ne vois pas d'où ça sort le 2 et "racine" de 3 pour la question. On a presque pas de données au départ.
En fait je ne vois pas d'où ça sort le 2 et "racine" de 3 pour la question 2. On a presque pas de données au départ.
Oups désolé. BAE mesure 5pi/12 radians.
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Ah oui désolé encore une fois.
2) Démontrer que AE²= a²(2-3)
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2)
Une méthode possible...
Soit B' le milieu de [AE].
Comme le triangle ABE est isocèle de sommet B, la médiane (BB') est aussi une médiatrice, et le triangle ABB' est donc rectangle en B'.
(BB') est également bissectrice de ABE.
AE = 2.AB'
AE = 2.AB.sin(B'BA)
AE = 2.a.sin(ABE / 2)
AE = 2.a.sin(pi/12)
AE² = 4a².sin²(pi/12)
Or (formule trigonométrique de base) : cos(2x) = 1-2sin²x donc sin²x = (1-cos(2x))/2
En remplaçant x par pi/6, il vient :
sin²(pi/12) = (1-((V3)/2))/2 = (2-V3)/4
Donc AE² = a²(2-V3)
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Exact.
Déjà tu sais que AA'=1/2a (car A' milieu de AD
Maintenant tu peux aussi ecrire A'E=A'B'-EB'=a-EB'
Or EB'B est aussi un triangle rectangle, calcule alors
EB' puis deduis en A'E
Je ne vois pas d'où ça sort le 2 et le "racine" de 3 dans la question 2. Je ne sais pas s'il faut ajouter des autres données, tracer des droites ou quoi que ça soit.
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Nicolas,
Je crois que le concepteur de l'énoncé veut qu'on calcule AE2 seulement en utilisant Pythagore sans formules trigos pour ensuite déduire la valeur
de cos(BAE)
D'ailleurs Lapetite a posté 2 fois son exercice car j'etais en train de résoudre la meme chose dans le topic
"Resolution de triangles"
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Bonjour Aiuto. 
lapetite, j'arrête mon intervention ici.
Le multi-post que tu as crée, et alimenté, est une violation grave des règles du forum. C'est également très impoli envers les correcteurs.
Nicolas
*** message déplacé ***
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