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resoudre m^2+1 multiple de 5
Bonjour je bloque Sur une question :resoudre Dans N m^2+1=0[5] merci pour votre aide
Bonjour merci d avoir repondu a ma question aussi rapidement
@carpediem: Les 2 solutions sont 2 et 4 a partir de m^2-4=0[5] on deduit le 2 mais le 3 ??
@alainpaul: On sait que m^2 +1-5k=0 mais comment trouver que k=m-1 ?
Merci
Je rectifie
*les 2 solutions sont 3 et 2
@carpediem de meme que m^2+1 est congru a 5 m^2-4 est congru a 5 d'ou m^2-9=0[5] d ou 3 (oui ma question etait stupide)
Merci
5 est premier donc Z/5Z est un corps, donc intègre (c'est-à-dire qu'un produit est nul si et seulement si un des facteurs au moins est nul.)
m² - 4 
0 <==> (m - 2)(m + 2) 0 <==> m 
{-2, 2}
[et -2 3]
@zeroplus merci je n y avais pas pensé (-2 est congru a 3 modulo5)mais j ai très bien saisi votre methode
@alainpaul j ai hate de connaitre comment vous avez trouvé le m-1 y a pas plus simple que de resoudre m²-5m+6=0 ===> m=3 ou m=2
Oui,
Z/5Z ,corps intègre.
"comment trouver que k=m-1 ? "
L'idée: rechercher une factorisation en ajoutant ou en retranchant
un multiple de 5 ,
C'est un peu selon ton intuition,
Alain
Merci alain paul
........suite de l exercice
1- trouver m tel que m²+1=0[5] (fait merci aux 3 ilematheux)
===>
2- p un nbre premier tq p=3+4k k un entier naturel
Soit n un entier n tq n²+1=0[p]
a- MQ (n²)^(1+2k)= -1[p] (fait)
b- mq n et p sont premiers entre eux ( j ai pensé n²+1=k'p <=>k'p-n²=1 ... Bezout)
c- deduire que (n²)^(1+2k)=1[p] -rien compris-
d- deduire de ce qui precede qu il ne xiste aucun entier naturel qui verifie n²+1 =0[p] -pas fait-
Merci
1- m²+1=0 [5] si et seulement si m = 2 + 5 k ou m = 3 + 5 k (k 
)
2- p un nbre premier tq p = 3 + 4 k k un entier naturel
Soit n un entier n tq n²+1=0[p]
a- MQ (n²)^(1+2k)= -1[p]
b- mq n et p sont premiers entre eux
(n²)^(1+2k)= -1[p] donc il existe un entier q tel que (n²)^(1+2k) = -1 + p q
soit 1 = n 2 (1 + 2 k) + p q
donc 1 = n 
n 1 + 4 k + p q
n et p sont premiers entre eux (Bézout)
sauf si p = 2 mais 2 n'est pas de la forme 4k + 3 ... ce qui justifie le pourquoi de cette restriction ....
salut
m²+1=0[5] on doit trouver m tel que (m²+1)/5 soit entier
dans la division de m par 5 il existe 4 restes possibles r{0,1,2,3,4}
si m = 0[5] alors m²+1 =1[5] donc m = 0[5] ne convient pas
si m = 1[5] alors m²+1 =2[5] donc m = 1[5] ne convient pas
si m = 2[5] alors m²+1 =5[5] soit m²+1 =0[5] donc m = 2[5] convient.
si m = 3[5] alors m²+1 =10[5] soit m²+1 =0[5] donc m = 3[5] convient.
si m = 4[5] alors m²+1 =17[5] soit m²+1 =2[5] donc m = 4[5] ne convient pas.
les deux seules solutions sont m=2[5] ou m=3[5]
..pour (n²)^(1+2k)=1[p]
si on utilise le pt theoreme de fermat alors n^(p-1)=1[p] avec p premier comme p =3+4k alors
n^(3+4k-1)=1[p] soit n^(2+4k)=1[p] soit (n²)^(1+2k) =1[p].
Bonjour,
Pour un modulo 'petit' l'examen des cas est possible, autrement il faut
envisager d'autres voies;envisager une mise en facteurs peut être fructueux,
une translation ad hoc peut permettre celle-ci :
...
Alain
Rapide.
Dans Z/5Z
m²+1=0
<==> m²-4=0
<==> (m+2)(m-2)=0
<==> m{-2,2} car Z/5Z est un corps donc intègre
on note 3 à la place de -2 si l'on veut et c'est fini.
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