salut

si u_nv_n les séries sont de même nature (convergente ou divergente mais surement pas équivalentes
prend u_n=1/2ⁿ et v_n=u_n+1 si n<1000000000=N et v_n=u_n si n>N

Saloute

Peut-être que tu voulais parler des restes, billy ...

Si les deux series diverge et l'un est a terme positifs (disons (u_n)_n pour fixer les idées) et que     u_n ~v_n.

Alors oui les deux sommes partielles sont equivalentes. La preuve est straightforward. Prends epsilon positif, pour n assez grand   et tu sommes ces egalités, en ramrquant qu'il faut casser la somme en 2 mais que les premiers termes ne vont jouer aucun role car comme diverge vers plus l'infini, ils sont egligeables devant.

prend u_n=1 et v_n=1+1/n

alors :
les suites sont équivalentes
les séries sont divergentes et ne sont pas équivalentes:
si on note S_n et T_n les séries associées alors pour tout réel p il existe N tel que pour n>N T_n>S_n+p

ce me semble-t-il

?? n et n+log(n) ne sont pas equivalentes? Première nouvelle...

J'ai donc pour un n assez grand :
_0kN-1 v_k + (1-)_Nkn u_k0kn v_k0kN-1 v_k + (1+)_Nkn u_k

Les sommes aves les v_k sont négligeables devant la somme des u_n, d'accord. Comment j'écris ça bien pour arriver à un truc de la forme
(1-)_0kn u_k0kn v_k(1+)_0kn u_k ?

Comme la serie des u_k est supposée divergente, la somme de 0 a n des u_k est strict positive (au moins pour n assez grand), du coup divise par somme de k=à à n des u_k, maintenant prend n assez grand de sorte à ce que

Ce qui est bien sur possible pui ce que ton N est fixe est que la serie des u_n tend vers l'infini


Tu obtiens

merci beaucoup, j'ai tout compris

2 fonctions f et g sont équivalentes si f=gh avec lim h=1

si les suites sont équivalentes les séries sont de même nature mais les suites des sommes partielles ne sont pas équivalentes

les 2 séries n et n+ln(n) sont toutes 2 divergentes de même que les fonctions exp(x) et xⁿ tendent vers l'infini mais ne sont pas équivalentes

d'ailleurs prend u_n=1/n et v_n=2/n
la 2e série est toujours le double de la 1e

ce me semble-t-il

damned je m'ai trompé

Bon,
J'ai fourni une démo de ce resultat (par ailleurs bien connu), enfin c'est surtout billy qui l'a donnée , lis là, je pense qu'elle te convaincra.

Je suis bien au courrant que des suites divergentes peuvent ne pas etre quivalentes et merci de me rappeler que e^n et n^k ne sont pas equivalentes.

Néanmoins tu semble penser que n et n+log(n) ne sont pas equivalentes, or elles le sont. Comme toutes les sommes partielles de series divergentes dont le terme généraux sont positifs et equivalents.

merci et désolé